作业帮如图,在三角形ABC中,AE=BF,EH平行于AC,FG平行于AC,线段EH,FG,Ac之间又怎样的数量关系?证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 20:48:30
如图,在三角形ABC中,AE=BF,EH平行于AC,FG平行于AC,线段EH,FG,Ac之间又怎样的数量关系?证明你的结论.
如图,在三角形ABC中,AE=BF,EH平行于AC,FG平行于AC,线段EH,FG,Ac之间又怎样的数量关系?证明你的结论.
如图,在三角形ABC中,AE=BF,EH平行于AC,FG平行于AC,线段EH,FG,Ac之间又怎样的数量关系?证明你的结论.
思考时,可以从特殊到一般,来猜测结论.点E可以在线段AB上运动,你试想当点E运动到点A处时,点F便在点B处,这时AC与EH重合,点F、G和B重合.当点E运动到线段AB的中间时,点F也在线段AB的中间,故点E、点F重合,点G、H也重合,线段EH为三角形ABC的中位线,此时,线段AC的长=2倍的线段EG=线段EH+线段FG,故推测AC=EH+FG.
证明思路：
如上图,过点E作直线BC的平行线,交AC于点I,则四边形EHCI为平行四边形,EH=CI,只需证明AI=FG便可.这两天条线段分别在两个三角形中,只需证明这两个三角形全等即可.由一组边相等,和几组边平行便可获得证明.
由AI平行于FG,得角A=角F,同理,角B=角AEI,AE=BF,得两三角形全等.
故AI=FG. 故AC=AI+IC=EH+FG
EH‖AC，FG‖AC
所以△BFG∽△BAC；△BEH∽△BAC
∴FG：AC＝BF：AB；EH：AC＝BE：AB
∴FG：BF＝AC：AB＝EH：BE (1)
不知道EF与AE和BF有啥关系？
如：E、F是AB的三等分点，则有：AC＝1.5EH＝3FG
只要知道EF与AE和BF的长短关系，都可以根据（1）式求出EH、FG、AC之间的关...
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EH‖AC，FG‖AC
所以△BFG∽△BAC；△BEH∽△BAC
∴FG：AC＝BF：AB；EH：AC＝BE：AB
∴FG：BF＝AC：AB＝EH：BE (1)
不知道EF与AE和BF有啥关系？
如：E、F是AB的三等分点，则有：AC＝1.5EH＝3FG
只要知道EF与AE和BF的长短关系，都可以根据（1）式求出EH、FG、AC之间的关系，否则没法求出它们的数量关系。
收起
设BF=AE=m,EF=n,
因FG//AC，
则FG/AC=BF/AB=m/(m+n+m)=m/(2m+n),(1)
同理，EH/AC=BE/AB=(m+n)/(m+n+m)=(m+n)/(2m+n),(2),
(1)+(2),
FG/AC+EH/AC=(m+m+n)/(2m+n)=1,
(FG+EH)/AC=1,
∴FG+EH=AC