作业帮一道数列证明题求证：1∧3+2∧3+3∧3+...n∧3 =（n(n+1)/2）∧2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 19:38:37
一道数列证明题求证：1∧3+2∧3+3∧3+...n∧3 =（n(n+1)/2）∧2
一道数列证明题
求证：1∧3+2∧3+3∧3+...n∧3 =（n(n+1)/2）∧2
一道数列证明题求证：1∧3+2∧3+3∧3+...n∧3 =（n(n+1)/2）∧2
用数学归纳法
当n=1时,有,1^3=(1(1+1)/2)^2,显然公式成立
假设当n=k时,公式成立,则有1∧3+2∧3+3∧3+...k∧3 =（k(k+1)/2）∧2
则当n=k+1时有
1∧3+2∧3+3∧3+...k∧3+（k+1）^3
=（k(k+1)/2）∧2+(k+1)^3
=((k+1)/2)^2(4(k+1)+k^2)
=（(k+1)(k+2)/2）∧2
于是当n=k+1时,公式成立
综上得 1∧3+2∧3+3∧3+...n∧3 =（n(n+1)/2）∧2
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3...
全部展开
1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
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