求所有能使n²/（200n-999）为整数的正整数n.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 11:51:13

求所有能使n²/（200n-999）为整数的正整数n.
求所有能使n²/（200n-999）为整数的正整数n.

求所有能使n²/（200n-999）为整数的正整数n.
设n^2/(200n-999)=k (k是不为0整数）
=>n^2=200k*n-999k
=>n^2-200k*n+999k=0
=>(n-100k)^2=（100k)^2-999k=(100k-5)^2+(k-25)
=>(n-100k)^2=(100k-5)^2+(k-25)
假设k不等于25,那么右边必须也是一个平方数,
设(100k-5)^2+(k-25)=(100k-5+m)^2,（m是不为0整数）
=》k-25=2m*(100k-5)+m^2
=>(200m-1)k+(m-5)^2=0
因为m和k都不等于0并且均为整数,因此上面的式子不成立,因此假设不成立
=》k=25
=》（n-100*25)^2=(100*25-5)^2=2495^2
=>n=2500-2495=5或n=2495+2500=4995
因此n等于5或4995

令d=(N,999),N=nd,999=md
N^2/(200N-999)=n^2d/(200n-m)
不难证k=(n^2,200n-m)=1(否则(N,999)=kd)
故(200n-m)|d
999=3^3*37
d的可能取值为1.3.9.27.37.111.333.999
此时m=999.333.111.37.27.9.3.1
分别得n=5.X.X.X.X.X.X.5(X表示无整数解)
故有2个解5和5*999=4995

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