作业帮我们还没学求导 已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)问是否存在实数a,b,当x∈(1,﹢∞)时,fx的值域为(0,+∞),且f(2)=lg2?若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:20:22
我们还没学求导 已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)问是否存在实数a,b,当x∈(1,﹢∞)时,fx的值域为(0,+∞),且f(2)=lg2?若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由
我们还没学求导
已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)
问是否存在实数a,b,当x∈(1,﹢∞)时,fx的值域为(0,+∞),且f(2)=lg2?
若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由
我们还没学求导 已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)问是否存在实数a,b,当x∈(1,﹢∞)时,fx的值域为(0,+∞),且f(2)=lg2?若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由
首先得到a^2-b^2=2
x>1时,fx>0,0
是存在性问题.x=1时,fx=0,解得a-b=1,联立解得a=3/2,b=1/2
按题目条件，当x趋近1时， a-b=1
当x=2时，a^2-b^2=2 故有：a+b=2
容易得出：a=3/2 b=1/2 满足 a>1>b>0的条件
已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)；问是否存在实数a,b，当x∈[1,﹢∞)时，f(x)的值域为[0,+∞)，且f(2)=lg2? 若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由
f(2)=lg(a²-b²)=lg2，故a²-b²=(a+b)(a-b)=2........(1)
由于f '(x)=[(a^x)lna-(b^x...
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已知f(x)=lg(a^x-b^x) (a>1>b>0)；问是否存在实数a,b，当x∈[1,﹢∞)时，f(x)的值域为[0,+∞)，且f(2)=lg2? 若存在，求出a,b的值；若不存在，说明理由
f(2)=lg(a²-b²)=lg2，故a²-b²=(a+b)(a-b)=2........(1)
由于f '(x)=[(a^x)lna-(b^x)lnb]/[(a^x-b^x)ln10]>0
这是因为1≦x<+∞时，a^x>1，0
故分子(a^x)lna-(b^x)lnb>0；分母(a^x-b^x)ln10>0。
即在区间[1，﹢∞)内f(x)是增函数，于是其最小值=f(1)=lg(a-b)=0，故a-b=1........(2)
将(2)代入(1)式得a+b=2.........(3)
(2)+(3)得2a=3，故a=3/2；(3)-(2)得2b=1，故b=1/2.
事实上，f(x)=lg[(3/2)^x-(1/2)^x]；f(1)=lg(3/2-1/2)=lg1=0；f(2)=lg(9/4-1/4)=lg2.
x→+∞limf(x)=x→+∞limlg[(3/2)^x-(1/2)^x]=+∞.
附识：原题的定义域和值域的写法有点不妥，故略有修改。
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