作业帮一道初中数学（图） 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 11:14:39
一道初中数学（图） 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF
一道初中数学（图） 一道证明角等的题
已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF
一道初中数学（图） 一道证明角等的题已知如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是AC边上的中线,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证：∠ADB=∠CDF
证明：作MC⊥AC于点C,交AF的延长线于点M.
可证∠MAC=∠DBA,再由AB=CA,∠BAD=∠ACM=90°证△ABD≌△CAM得∠ADB=
∠M,AD=CM;然后由CF=CF,∠MCF=∠DCF=45°,CM=AD=CD,证△CDF≌△CMF得,
∠M= ∠CDF,所以∠ADB=∠CDF.
证明：过A、D分别做BC的垂线，垂足分别为G、H．
设AG=1，那么CG=1，DH= 12，BH= 32，
tan∠DBH= 13，
又∠GAF=∠DBH，∴GF= 13AG= 13，
FH=GH-GF= 12- 13= 16，
tan∠FDH= FHDH= 13
∴∠DBH=∠FDH
∵∠ADB=∠DBH+∠C，
∠CDF═∠FDH+∠CDH，
∴∠ADB=∠CDF．
这题不难 ，思路如下：
（1）过点A作AK⊥BC，与BD交于点K
（2）AB=AC，∠BAK=∠ACF，并由AE⊥BD易得∠ABK=∠CAF，从而证得ΔABK≌ΔCAF
（3）AK=CF，AD=CD，∠KAD=∠FCD=45°，ΔKAD≌ΔFCD
（4）∠ADB=∠CDF