作业帮高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列｛An｝A1=2,A(n+1)＝An+（1/An） （n=1,2,3………） 证明An>根号下（2n+1）对任何正整数成立.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 18:31:46
高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列｛An｝A1=2,A(n+1)＝An+（1/An） （n=1,2,3………） 证明An>根号下（2n+1）对任何正整数成立.
高中数列证明题一道,讨论简易证法
设数列｛An｝A1=2,A(n+1)＝An+（1/An） （n=1,2,3………） 证明An>根号下（2n+1）对任何正整数成立.
高中数列证明题一道,讨论简易证法设数列｛An｝A1=2,A(n+1)＝An+（1/An） （n=1,2,3………） 证明An>根号下（2n+1）对任何正整数成立.
这道题实际上前面已经有人问过,不过,的确看着有点乱
数学归纳法：
n=1时,A1=2=√4>√(2*1+1)=√3,显然成立
假设,n=k时,Ak>√(2k+1)成立
则,n=k+1时,因为A(k+1)=Ak+1/Ak
所以,A(k+1)^2=Ak^2+2+1/Ak>2+Ak^2>2+2k+1=2(k+1)+1
即:A(k+1)>√(2k+1)+1成立
所以,数列{An},A1=2,A(n+1)=An+1/(An)
对于任意正整数n,存在An>√(2n+1)成立
数学归纳法：
n=1时，A1=2=√4>(2*1+1)^(1/2)=√3,
假设，An>(2n+1)^(1/2)成立
证明 An+1 > (2(n+1)+1)^(1/2)
A(n+1)^2=An^2+2+1/An>2+An^2 (An 正整数)
>2+2n+1=2(n+1)+1
A(n+1)>(2(n+1)+1)^(1/2)成立