设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:54:42
设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1

设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1
设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1

设n阶矩阵A满足A的m次方等于0,m是正整数,证明E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^m-1
证明:由题设,n阶矩阵A满足A^m=0(零矩阵),
因为(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=E-A^m=E-0=E,
又因为[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E-A^m=E-0=E,
即(E-A)[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)]=[E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1)](E-A)=E,
所以由矩阵可逆定义及逆矩阵定义可知：
E-A可逆,且E-A的逆矩阵等于E+A+A^2+A^3+.+A^(m-1).

依题 A^m=0
E^m-A^m=(E-A)[E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1)] =E^m ，且E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1）为n阶非零矩阵。
根据逆矩阵定义，知矩阵 E-A 为可逆矩阵，且 [E^(m-1)+A+ A^2+…+A^(m-1）]为它的可逆矩阵。

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