作业帮求一道数列证明题解法..某题最后一问的后半部分不会做了..数列{a}通项公式为 1/n^2 ,证明：6n/(n+1)(2n+1) ＜Sn(前n项和)＜5/3最好用放缩法。对柯西不等式不熟悉。也不会数学归纳法和求导什么
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:04:09
求一道数列证明题解法..某题最后一问的后半部分不会做了..数列{a}通项公式为 1/n^2 ,证明：6n/(n+1)(2n+1) ＜Sn(前n项和)＜5/3最好用放缩法。对柯西不等式不熟悉。也不会数学归纳法和求导什么
求一道数列证明题解法..
某题最后一问的后半部分不会做了..
数列{a}通项公式为 1/n^2 ,证明：6n/(n+1)(2n+1) ＜Sn(前n项和)＜5/3
最好用放缩法。对柯西不等式不熟悉。也不会数学归纳法和求导什么的。目前只会放缩。
求一道数列证明题解法..某题最后一问的后半部分不会做了..数列{a}通项公式为 1/n^2 ,证明：6n/(n+1)(2n+1) ＜Sn(前n项和)＜5/3最好用放缩法。对柯西不等式不熟悉。也不会数学归纳法和求导什么
后半部分为
Sn=1+1/4+1/9.1/n^2<5/3
Sn<1+1/4+1/8+1/15.1/(n^2-1)=1+1/4+1/2[1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6.+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/4+1/2[1/2+1/3-1/n-1/(n+1)]<1+1/4+1/2[1/2+1/3]=1+1/4+5/12=5/3
前半部分可以这样证明
当n=1时
Sn=1=6/2*3=1
当n>=2时
Sn>1
(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1=n(2n+3)+1>=7n+1>7n
6n/[(n+1)(2n+1)]<6n/7n=6/7<1
所以6n/[(n+1)(2n+1)]<=Sn ,等号当且仅当n=1时成立
由柯西不等式得：
(1*(1/1)+2*(1/2)+……+n*(1/n))^2<=(1^2+2^2+……+n^2)((1/1)^2+(1/2)^2+……+（1/n）^2)
又1^2+2^2+……+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6且上述数据不满足柯西不等式等号成立条件，故整理得Sn>6n/[(n+1)(2n+1)]
借用一楼的仁兄的思路
Sn<1+1/4+1/8...
全部展开
由柯西不等式得：
(1*(1/1)+2*(1/2)+……+n*(1/n))^2<=(1^2+2^2+……+n^2)((1/1)^2+(1/2)^2+……+（1/n）^2)
又1^2+2^2+……+n^2=n*(n+1)(2n+1)/6且上述数据不满足柯西不等式等号成立条件，故整理得Sn>6n/[(n+1)(2n+1)]
借用一楼的仁兄的思路
Sn<1+1/4+1/8+1/15....1/(n^2-1)=1+1/4+1/2[1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6....+1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/4+1/2[1/2+1/3-1/n-1/(n+1)]<1+1/4+1/2[1/2+1/3]=1+1/4+5/12=5/3
得证
==========
ps:我的不合适的思路
（n^2>(n+1)(n-1)
sn=1/1+1/2^2+……+1/n^2<1+1/3*1+1/(4*2)+……+1/(n+1)(n-1)
=1+1/2(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+……1/(n-1)-1/(n+1))
=1+1/2* (1+1/2-1/n-1/(n+1))
=1+1/2*(3/2 -1/n-1/n+1)
<7/4
）
前面没法放缩…柯西不等式不是基本的么…现在高中不学了么……
不用这个没法做了。如果想了解，自己去百科看柯西不等式吧
如果再说不知道，就直接在这个证明题里面把柯西不等式先证明下吧……
收起
可以给5/3后面加个变量：5/3－1/n。但是S1不小于5/3-1/1！
所以可以把归纳的初始条件变大下：
S5=1.463611111111111
5/3－1/5＝1.466666666666667。这时S5<5/3-1/5！！
然后再用数学归纳法，大功告成！