作业帮使得5的N次方+N能被31整除的最小正整数N为30,则下一个比30大的满足条件的正整数N的值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 03:43:13
使得5的N次方+N能被31整除的最小正整数N为30,则下一个比30大的满足条件的正整数N的值为?
使得5的N次方+N能被31整除的最小正整数N为30,则下一个比30大的满足条件的正整数N的值为?
使得5的N次方+N能被31整除的最小正整数N为30,则下一个比30大的满足条件的正整数N的值为?
以下(mod ..)之前的等号表示同余符号
5^0=1(mod 31)
5^1=5(mod 31)
5^2=25(mod 31)
5^3=125=1(mod 31)
所以5模31的阶为3
5^30+30=0(mod 31)
设下一个比30大的满足条件的正整数N=30+k,k>=1
5^(30+k)+30+k=5^k+k-1=0(mod 31)
当k=0(mod 3)时
5^k+k-1=1+k-1=k=0(mod 31)
k最小为3*31=93
当k=1(mod 3)时
5^k+k-1=5+k-1=k+4=0(mod 31)
k=27(mod31)
由中国剩余定理可求得k=58(mod 93)
所以k最小为58
当k=2(mod 3)时
5^k+k-1=25+k-1=k+24=0(mod 31)
k=7(mod31)
由中国剩余定理可求得k=38(mod 93)
所以k最小为38
综上所述k最小为38
所以下一个比30大的满足条件的正整数N=30+k=68
设N=30+m.
因为5^30同余于1(mod 31)
所以5^(30+m)+(30+m)同余于5^m+m-1(mod 31)
注意到，当m=1,2,3...时，5^m除以31的余数分别为5,25,1,5,25,1……
所以，找使得5^m+m-1整除于31的m就好找了。
m-1只可能是31-5,31-25,31-1,62-5,62-25,62-1……等等，即...
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设N=30+m.
因为5^30同余于1(mod 31)
所以5^(30+m)+(30+m)同余于5^m+m-1(mod 31)
注意到，当m=1,2,3...时，5^m除以31的余数分别为5,25,1,5,25,1……
所以，找使得5^m+m-1整除于31的m就好找了。
m-1只可能是31-5,31-25,31-1,62-5,62-25,62-1……等等，即m只可能是27,7,31,58,38,62…….检验一下就知道，最小的m=38.
所以下一个正整数N=30+38=68.
顺便说一下：此题和费马小定理有点关系。
费马小定理：p是质数，a,p互质，则a的p-1次方模p余1.
有问题可以再问。
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