作业帮∫sin(lnx)dx0.5{sin(lnX)+cos(lnX)}+C需要详细步骤
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 05:29:06
∫sin(lnx)dx0.5{sin(lnX)+cos(lnX)}+C需要详细步骤
∫sin(lnx)dx
0.5{sin(lnX)+cos(lnX)}+C需要详细步骤
∫sin(lnx)dx0.5{sin(lnX)+cos(lnX)}+C需要详细步骤
积分:sin(lnx)dx (分部积分)
=xsin(lnx)-积分:xcos(lnx)/xdx
=xsin(lnx)-积分:cos(lnx)dx (再分部积分)
=xsin(lnx)-xcos(lnx)-积分:xsin(lnx)/xdx
=xsin(lnx)-xcos(lnx)-积分:sin(lnx)dx
设原来的积分为Q
则有:
Q=xsin(lnx)-xcos(lnx)-Q
所以
2Q=xsin(lnx)-xcos(lnx)
所以
Q=1/2[xsin(lnx)-xcos(lnx)]
所以最后的积分答案是:
1/2[xsin(lnx)-xcos(lnx)]+C
(C为积分常数)
令lnx=t,则x=e^t,
∫sin(lnx)dx
=∫sintde^t
=e^t×sint-∫e^tdsint
=e^t×sint-∫e^t×costdt
=e^t×sint-∫costde^t
=e^t×sint-e^t×cost+∫e^tdcost
=e^t×sint-e^t×cost-∫e^t×sintdt
所以原式=(e^t×sint-e^t×cost)/2
=x×（sinlnx-coslnx）/2
分部积分
∫sin(lnx)dx
=-∫xdcos(lnx)
=-xcos(lnx)+∫cos(lnx)dx
=-xcos(lnx)+∫xdsin(lnx)
=-xcos(lnx)+xsin(lnx)-∫sin(lnx)dx
所以2∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)
∫sin(lnx)dx=（xsin(lnx)-xcos(lnx)）/2
令lnx=t x=e^t
∫sin(lnx)dx=∫sintde^t=∫sinte^tdt
=(e^t)sint-∫e^tdsint
=e^tsint-∫costde^t
=e^tsint-e^tcost+∫e^tdcost
=e^tsint-e^tcost-∫e^tsintdt
2∫sinte^tdt=e^t(sint-cost)
∫sinte^tdt=e^t(sint-cost)/2
代入t=lnx