作业帮高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明请证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 12:29:12
高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明请证明
高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明
请证明
高中数学三角形各种心的向量的表达式以及其详细证明请证明
在题不建系是很难解的,除非用到向量或大学的纯几何理论,我想初中应该也学了平面直角坐标系了吧,点到点的距离坐标表达式应该也学了吧.
不妨设ΔABC边长为√3【根号3】,则园O半径为1
以O为原点,OA为y轴,过O且平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系.
则：O（0,0）,A（0,1）,B（-√3/2 , -1/2）, C（√3/2 , -1/2）
设P（x,y）则：x2+y2=1【园上的点符合园的方程】
则PA2+PB2+PC2=x2+（y-1）2+（x+√3/2 ）2+（y+1/2）2+（x-√3/2 ）2+（y+1/2）2
=6
∴P到A,B,C三点距离的平方和为定值.
证毕.
三角形五心向量形式的充要条件：
设O为⊿ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a、b、c
则，
1、若向量OA=向量OB=向量OC，则O为⊿ABC的外心
2、若向量OA+向量OB+向量OC=0，则O为⊿ABC的重心
3、若向量OA•向量OB =向量OB•向量OC =向量OC•向量OA，则O为⊿ABC的垂心
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三角形五心向量形式的充要条件：
设O为⊿ABC所在平面上一点，角A、B、C所对边长分别为a、b、c
则，
1、若向量OA=向量OB=向量OC，则O为⊿ABC的外心
2、若向量OA+向量OB+向量OC=0，则O为⊿ABC的重心
3、若向量OA•向量OB =向量OB•向量OC =向量OC•向量OA，则O为⊿ABC的垂心
4、若a向量OA+b向量OB+c向量OC=0，则O为⊿ABC的内心
5、若a向量OA=b向量OB+c向量OC=0，则O为⊿ABC的角A的旁心
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