作业帮f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:37:24
f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
f(x)的定义域关于原点对称 F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
定义判断：
F（x）=f(x)+f(-x)则F（-x）=f(-x)+f(x)=F(x)还是F(x)满足F（-x）=F(x)定义故为偶函数.同理G（-x）=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x)为奇函数.
"因为f(x)的定义域关于原点对称,所以有f(-x)=-f(x),所以
对于F(x),有F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=-f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以
F（x)为偶函数；
同理对于G(x),有G（-x）=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]
=-G (x)
所以G（x)为奇函数 "
这个解答“因为f(x)的定义域关于原点对称,所以有f(-x)=-f(x),”有问题,定义域关于原点对称是奇偶性的必要条件.如果按该解答所说“所以有f(-x)=-f(x)”那只要定义域关于原点对称就是奇函数了?显然不对.
因为f(x)的定义域关于原点对称，所以有f(-x)=-f(x),所以
对于F(x)，有F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=-f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以
F（x)为偶函数；
同理对于G(x),有G（-x）=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]
...
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因为f(x)的定义域关于原点对称，所以有f(-x)=-f(x),所以
对于F(x)，有F(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=-f(x)+f(x)=f(-x)+f(x)=F(x),所以
F（x)为偶函数；
同理对于G(x),有G（-x）=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]
=-G (x)
所以G（x)为奇函数
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F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数
因为 F(x)=f(x)+f(-x) F(-x)=f(-x)+f(x)
有 F(x)=F(-x）
所以F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数
G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
因为 G(x)=f(x)-f(-x) G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)
有 G(x)= ...
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F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数
因为 F(x)=f(x)+f(-x) F(-x)=f(-x)+f(x)
有 F(x)=F(-x）
所以F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数
G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
因为 G(x)=f(x)-f(-x) G(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)
有 G(x)= -G(-x）
所以 G(x)=f(x)-f(-x)为奇函数
这样的题目在刚开始学习奇函数、偶函数的时候作为练习题出现，主要在于加深学生对于奇函数偶函数基本性质的理解记忆。在自变量定义域关于原点对称的前提下，则【偶函数有 f(x)=f(-x)；奇函数有 f(x)= -f(-x)】
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