如何用直尺与圆规在圆中作正五边形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 10:37:38

如何用直尺与圆规在圆中作正五边形
如何用直尺与圆规在圆中作正五边形

如何用直尺与圆规在圆中作正五边形
思路：
若已知圆内接五边形画法,则再作圆周角平分线就得到剩下的顶点.
不借助五边形,可由勾股定理或三角函数算出正十边形边长和圆半径关系,然后以半径为单位长,做出这个边长来.在圆上截十段即可.
事实上,这就是用尺轨在做代数问题.
另外,画五边形也不见得更容易,方法是一致的.
十边形边长a可以构造相似三角形用勾股定理计算（我认为比较好).
也可使用余弦定理：
r^2 + r^2 - 2 * r * r * Cos36° = a^2
所以
a = r * √(2 - 2 * Cos36°)
不过这里Cos36°需要用一些技巧计算出来根式形式.
也就是用三角恒等变形把Cos36°写成方程,再解出方程的根.
我省略计算过程,结果a是个熟悉的数：黄金分割比.
a = r * (√5 - 1) / 2
好了,只要作一个直角边长为r/2和r的直角三角形,斜边长就是r * √5 / 2.再截去r / 2即可.于是我们就作出了十边形边长,十边形随之就得到了

尺规作正五边形步骤如下：
1）作线段XY，使XY=a;
2) 以线段XY为直径作圆O；
3）在此圆中再作一直径AZ，使AZ垂直于XY；
3）以半径OY的中点M为圆心，以MA为半径作弧交线段XY于点N；
4）连结NA。
则线段NA即该圆的内接正五边形边长。

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