如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:36:34
如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数

如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数
如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数

如何证明两个奇数的平方和一定不是平方数
用反证法来证
设a、b是奇数,假设a^2+b^2=c^2 (c是整数）
由于a、b是奇数,所以可设a=2m+1 （ m是整数） b=2n+1(n是整数）代入a^2+b^2=c^2 得
4m^2+4m+1+4n^2+4n+1=c^2
4(m^2+m+n^2+n)+2=c^2 (1)
从上式可知 c^2能被2整除,由于2是质数,所以c也能被2整除,（注意：这是整数整除理论中一个定理）于是可设c=2k(k是整数）
代入(1)得4(m^2+m+n^2+n)+2=4k^2 两边同除以4得
(m^2+m+n^2+n)+1/2=k^2 (2)
由于m、n、k都是整数,1/2是分数,所以(2)式显然不成立.所以矛盾.于是命题得证.

证：采用反证法：
假设存在奇数a，b和整数c使得a²+b²=c²成立
设b²=xa²
则有b=a√x
因为a，b都是奇数所以x是平方数且为奇数
又可由（x+1）a²=c² 有c=a√（x+1），因为a，c都是整数，所以x+1也是平方数
因为x是奇数，x+1是偶数
两者都是...

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证：采用反证法：
假设存在奇数a，b和整数c使得a²+b²=c²成立
设b²=xa²
则有b=a√x
因为a，b都是奇数所以x是平方数且为奇数
又可由（x+1）a²=c² 有c=a√（x+1），因为a，c都是整数，所以x+1也是平方数
因为x是奇数，x+1是偶数
两者都是完全平方数不能同时成立。
所以矛盾。
所以假设不成立。
于是原命题得证。
希望对你有帮助。

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