作业帮求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 02:50:31
求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
求一个有三角比的代数式的最小值
(125-100sinα)/cosα
其中α∈(0,π/2)
求一个有三角比的代数式的最小值(125-100sinα)/cosα其中α∈(0,π/2)
先化简：(125-100sinα)/cosα＝25(5－4sinα)/cosα
设(5－4sinα)/cosα＝k,则5-4sinα=k·cosα
因此k·cosα＋4sinα＝5
∴ 根号(k^2+16)·sin(α+β)＝5,其中tanβ＝k/4
因此有 根号(k^2+16)≥5
解之得 k≥3,细节过程略.
解:
令f(a)=(125-100sina)/cosa;
求导:f'(a)=[-100cosa*cosa+sina*(125-100sina)]/cosa^2=[-100(sina^2+cosa^2)+125sina]/cosa^2=(125sina-100)/cosa^2
当f'(a)=0时取的最小植,
所以:125sina-100=0
sina=4/5
代数式的最小值为:(125-100*4/5)/(3/5)=75
(125-100sina)/cosa=-100(1.25-sina)/(-cosa)
令k=(1.25-sina)/(0-cosa)
建立平面直角坐标系xoy，点A(cosa,sina)在第一象限的圆周上，点B(0,1.25)在在y轴上
k=(1.25-sina)/(0-cosa)即为直线AB的斜率
当AB与圆相切时，k有最大值
∵OB⊥AB
且O...
全部展开
(125-100sina)/cosa=-100(1.25-sina)/(-cosa)
令k=(1.25-sina)/(0-cosa)
建立平面直角坐标系xoy，点A(cosa,sina)在第一象限的圆周上，点B(0,1.25)在在y轴上
k=(1.25-sina)/(0-cosa)即为直线AB的斜率
当AB与圆相切时，k有最大值
∵OB⊥AB
且OB=1,OA=1.25
∴AB=0.75
k=-tan∠AOB=-0.75/1=-3/4
此时，-100k有最小值，-100×(-3/4)=75
收起
其实我觉得一楼的没有问题啊
三楼你说的那个问题不影响计算，我们可以忽略
只看k·cosα＋4sinα＝5
那么根号(k^2+16)>=5,这个是直接可以得到的，不需要什么beta
那么k>=3,
只要我们在后面验证出等号确实可以成立就行了
当sina=4/5 的时候k确实可以取3，那么
k的最小值就是3，
所以原式的最小值就是75...
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其实我觉得一楼的没有问题啊
三楼你说的那个问题不影响计算，我们可以忽略
只看k·cosα＋4sinα＝5
那么根号(k^2+16)>=5,这个是直接可以得到的，不需要什么beta
那么k>=3,
只要我们在后面验证出等号确实可以成立就行了
当sina=4/5 的时候k确实可以取3，那么
k的最小值就是3，
所以原式的最小值就是75
收起