作业帮（高等数学题）证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.请把证明步骤写完整详
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 04:02:37
（高等数学题）证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.请把证明步骤写完整详
（高等数学题）证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.
证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.
请把证明步骤写完整详细.
（高等数学题）证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.请把证明步骤写完整详
存在性：令G(x)=[F(x)+F(-x)]/2,H(x)=[F(x)-F(-x)]/2,
则,G(x)是一个偶函数,H(x)是一个奇函数,F(x)=G(x)+H(x),分解成立.
唯一性：设F(x)还可以分解成F(x)=G1(x)+H1(x),那么必有：
G(x)+H(x)=G1(x)+H1(x),
即G(x)-G1(x)=H1(x)-H(x)
显然左边是偶函数,右边是奇函数,于是只能等于0才行.
即得G1(x)=G(x),H1(x)=H(x)
证明：
（存在性）
令 g（x）= （f（x）+ f（-x））/2
h（x）= （f（x）- f（-x））/2
则g（-x）= [f（-x）+ f（-（-x））]/2
=（f（-x）+ f（x））/2
= g（x） 即g（x）为偶函数
h（-x）= [f（-x）- f（-（-x））]/2
全部展开
证明：
（存在性）
令 g（x）= （f（x）+ f（-x））/2
h（x）= （f（x）- f（-x））/2
则g（-x）= [f（-x）+ f（-（-x））]/2
=（f（-x）+ f（x））/2
= g（x） 即g（x）为偶函数
h（-x）= [f（-x）- f（-（-x））]/2
=（f（-x）-f（x））/2
= -（f（x）- f（-x））/2
= - h（x） 即h（x）为奇函数
又 f（x）= g（x）+ h(x), 即f（x）可表示为一个奇函 数和一个偶函数的和
下面证明分解性唯一（唯一性）
假设f（x）分解为一奇一偶两函数之和有两种分解法
即 f（x）= g（x）+ h(x)
= k (x) + l(x) （*）
其中，g（x），k（x）为偶函数，h（x），l（x）为奇函数
则由（*）式有 g（x）- k（x）= l（x）-h（x）
令H（x）= g（x）- k（x）
T（x）= l（x）-h（x）
由g（x），k（x）为偶函数，l（x），h（x）为奇函数易知 H（x）为偶函数，T（x）为奇函数
于是有H（x）= H（-x），T（x）= -T（-x）
又由g（x）- k（x）= l（x）-h（x），即H（x）=T（x）
于是H（-x）= -T（-x）得到H（-x）+ T（-x）=0
以 x 替换 -x，得到 H（x）+T（x）=0
又由H（x）=T（x） 综合两式，即有
H（x）= T（x）=0
从而g（x）=k（x），h（x）=l(x) 唯一性得证！
（证毕）
收起