作业帮设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:02:53
设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n
设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n
设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)=n
这里边用到两个结论：r(A+B)<=r(A)+r(B)对任意的n阶方阵A,B成立.
若AB=0,则r(A)+r(B)<=n,其中A,B是n阶方阵.
第一个不等式在任何线代数上都有.第二个一般的也有,你也可以自己证明.
1、A(A-E)=0,于是n>=r(A)+r(A-E)=r(A)+r(E-A)>=r(A+E-A)=r(E)=n.
中间等号必须成立,因此r(A)+r(A-E)=n.
2、(A+E)(A-E)=0,因此n>=r(A+E)+r(A-E)=r(A+E)+r(E-A)>=r(A+E+E-A)=r(2E)=n,
中间等号必须成立,故r(A+E)+r(A-E)=n.
A^2-A=0 A(A-E)=0 （将A看成方程系数，A-E看成方程的根）
设r（A）为s
则r（A-E）=n-s
则得证
第二题同样 (A-E)(A+E)=0
此做法纯本人个人意见，如做错或概念不清，请勿怪。为什么r(A-E)为n-s?你解方程组的时候，解和系数矩阵的秩的和就是n呀 Ax=0 ...
全部展开
A^2-A=0 A(A-E)=0 （将A看成方程系数，A-E看成方程的根）
设r（A）为s
则r（A-E）=n-s
则得证
第二题同样 (A-E)(A+E)=0
此做法纯本人个人意见，如做错或概念不清，请勿怪。
收起
Prove：
(1)duing to A^2=A,we get A(A-E)=0
since
r(A)+r(A-E)<=n
r(A)+r(A-E)>=r(A -(A )-E)=r(E)=n
so r(A)+r(A-E)=n
（2）change original form A^2=E into A^2-E^2=0;r(A+E)r(A-E)=0,
use r(A+E) to replace r(A) in the proving process (1)
we get the result r(A+E)+r(A-E)=n
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