作业帮已知三角形abc中,ab=ac,p是bc上任意一点,连接ap,求证ac平方=ap平方+cp乘以bp
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 11:33:09
已知三角形abc中,ab=ac,p是bc上任意一点,连接ap,求证ac平方=ap平方+cp乘以bp
已知三角形abc中,ab=ac,p是bc上任意一点,连接ap,求证ac平方=ap平方+cp乘以bp
已知三角形abc中,ab=ac,p是bc上任意一点,连接ap,求证ac平方=ap平方+cp乘以bp
辅助线+代数法：
做辅助线：AO垂直于BC于O点.
AC^2=AO^2+OC^2 （因为直角三角形,全部过程几乎都是因为直角哈）
然后AC^2=AO^2+(OP+PC)^2
=AO^2+OP^2+2OP*PC+PC^2 （因为AO^2+OP^2=AP^2）
=AP^2+PC*(2OP+PC)
=AP^2+PC*(OP+OC) (OC=OB)
=AP^2+PC*BP
证毕
LZ 让我想起了高中……谢谢
AP2
作辅助线ah垂直于bc
不妨设cp>bp
由勾股定理，得原证明变为ch^2=ph^2+cp*bp
因为ch^2-ph^2=(ch+ph)(ch-ph)=cp*bp
证明：考察三角形ACP和三角形ABP，由余旋定理
AC^2=AP^2+PC^2-2AP*PC*cos∠APC①
AB^2=AP^2+BP^2-2AP*PB*cos∠APB②
因为∠APC和∠APB互补，所以cosAPB=-cosAPC
AB^2=AP^2+BP^2+2AP*PB*cos∠APC③
①+②得AC^2+AB^2=2AP^2+PB^2+P...
全部展开
证明：考察三角形ACP和三角形ABP，由余旋定理
AC^2=AP^2+PC^2-2AP*PC*cos∠APC①
AB^2=AP^2+BP^2-2AP*PB*cos∠APB②
因为∠APC和∠APB互补，所以cosAPB=-cosAPC
AB^2=AP^2+BP^2+2AP*PB*cos∠APC③
①+②得AC^2+AB^2=2AP^2+PB^2+PC^2+2APcosAPC(PB-PC)
又AB=AC,由①③得2AP(PB+PC)cos∠APC=PC^2-PB^2
所以2APcos∠APC=PC-PB代入①整理即证。
另过A做AD⊥BC于点D，不妨设BP
由勾股定理AC^=AD^2+CD^2=AP^2-PD^2+CD^2=AP^2+(CD+PD)(CD-PD)
=AP^2+PC*(CD-DE)=AP^2+PC*EC=AP^2+PC*PB
证毕。
8回
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