作业帮已知sinα+sinβ=1/3,则sinα-cos²β的最大值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 08:13:15
已知sinα+sinβ=1/3,则sinα-cos²β的最大值是
已知sinα+sinβ=1/3,则sinα-cos²β的最大值是
已知sinα+sinβ=1/3,则sinα-cos²β的最大值是
记y=sina-(cosβ)^2
=(1/3-sinb)-1+(sinβ)^2
=-2/3-t+t^2,t=sinβ
=(t-1/2)^2-11/12
因为t=1/3-sina,所以-2/3=
已知sinα+sinβ=1/3,
sinβ=1/3-sinα
sin^2β=1/9-2/3*sinα+sin^2α
sinα-cos²β
=sinα-(1-sin^2β)
=sinα-1+sin^2β
=sin^2α+1/3sinα-8/9
=(sin^2a+1/3sinα+1/36)-11/12
=(sina+1/6)^2-11/12
当sina=-1/6时,最小值=-11/12
因为：sinα+sinβ=1/3
所以：sinα=1/3-sinβ
代入所求：sinα-cos²β=1/3-sinβ-cos²β
设：f(β)=1/3-sinβ-cos²β
cos²β=1-sin²β
故，有：f(β)=1/3-sinβ-1+sin²β
整理，有：f(β)=sin&...
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因为：sinα+sinβ=1/3
所以：sinα=1/3-sinβ
代入所求：sinα-cos²β=1/3-sinβ-cos²β
设：f(β)=1/3-sinβ-cos²β
cos²β=1-sin²β
故，有：f(β)=1/3-sinβ-1+sin²β
整理，有：f(β)=sin²β-sinβ-2/3
df(β)/dsinβ=2sinβ-1
1、令：df(β)/dsinβ＞0，即：2sinβ-1＞0
解得：sinβ＞1/2
所以：sinβ∈(1/2，1]时，f(β)是单调增函数；
2、令：df(β)/dsinβ＜0，即：2sinβ-1＜0
解得：sinβ＜1/2
所以：sinβ∈[-1，1/2)时，f(β)是单调减函数。
因此，当sinβ=1/2时，f(β)取得极大值。f(β)极大=(1/2)²-1/2-2/3=-11/12
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