作业帮关于导数极值点f(x)导数为f'(x),极值点为A,F(A)那么对于上面的函数F'(X)的导数F''(x),为什么有F''(A)>0,为极小值,F''(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:14:52
关于导数极值点f(x)导数为f'(x),极值点为A,F(A)那么对于上面的函数F'(X)的导数F''(x),为什么有F''(A)>0,为极小值,F''(x)
关于导数极值点
f(x)导数为f'(x),极值点为A,F(A)
那么对于上面的函数F'(X)的导数F''(x),为什么有F''(A)>0,为极小值,
F''(x)<0,为极大值?
关于导数极值点f(x)导数为f'(x),极值点为A,F(A)那么对于上面的函数F'(X)的导数F''(x),为什么有F''(A)>0,为极小值,F''(x)
不严格的来讲,连续无突兀点函数的导数都是原函数的斜率,F''(X)可看做是原函数F'(X)的斜率,进而可以看出,若前者大于0,后者就会是递增滴,而F'(X)又是F(X)的导数,自然,对于存在导数的F(X)而言,F''(A)=0才可满足极值要求,故而可得结论如下：
F''(A)>0,所以,F'(X)递增,而F''(A)=0,所以,在A点左侧,F'(X)为负,F'(X)递减,A点右侧,F'(X)为正,F（X）递增,故而,有F''(A)>0,为极小值；
同理,F''(x)<0,为极大值.
关于这个的证明,时刻注意极大极小值定义概念与连续函数、有导数函数定义陷阱,不然,证完没能表述清楚,得不到满分.
好久不做数学题了,都快忘记了.
证明：（极大值）
因为f(x)在点A存在二阶导数,所以在A的邻域内,带佩亚诺余项的二阶泰勒公式成立,即
f(x)=f(A)+f'(A)(x-A)+1/2*f''(A)(x-A)^2+o((x-A)^2)
由于f'(A)=0,故有
f(x)-f(A)=1/2*f''(A)(x-A)^2+o((x-A)^2)
因为右端第二项是比(x-A)^2高阶的无穷小,所以,...
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证明：（极大值）
因为f(x)在点A存在二阶导数,所以在A的邻域内,带佩亚诺余项的二阶泰勒公式成立,即
f(x)=f(A)+f'(A)(x-A)+1/2*f''(A)(x-A)^2+o((x-A)^2)
由于f'(A)=0,故有
f(x)-f(A)=1/2*f''(A)(x-A)^2+o((x-A)^2)
因为右端第二项是比(x-A)^2高阶的无穷小,所以,在A的充分小的邻域内,左端符号取决于右端第一项的符号.
当f''(A)<0时,f(x)-f(A)<0,即f(x)
给分吧~
收起
因为函数的二阶导数大于0意味着函数是凹函数，只能有极小值，函数的二阶导数小于0意味着函数是凸函数，只能有极大值，建议参考凹凸函数的性质。
希望能帮到你。