证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/12 14:36:33
证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量

证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量
证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量

证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量
证明:
不放设△ABC中,∠A是钝角,H是垂心,
容易知道H在△ABC外,(详见附图),
连接HA,并延长交BC于D,连接HB,交CA延长线于F,连接HC,交BA延长线于E,则D、E、F都是三边的垂足
tanB=CE/BE,tanC=BE/CE,
∴tanB/(-tanA)
=tanB/tan∠CAE
=(CE/BE)/(CE/AE)
=AE/BE
同理,
tanC/(-tanA)
=tanB/tan∠BAF
=(BF/CF)/(BF/AF)
=AF/CF
过A作AM‖HC,交HB于M,过A作AN‖HB,交HC于N,则
四边形AMHN是平行四边形
∴向量HA=向量HM+向量HN
∴向量HB*tanB/(-tanA)+向量HC*tanC/(-tanA)
=向量HB*(AE/BE)+向量HC*(AF/CF)
=向量HB*(MH/BH)+向量HC*(NH/CH)
=向量HM+向量HN
=向量HA
∴向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量HA*(-tanA)
∴向量HA*tanA+向量HB*tanB+向量HC*tanC=向量0
得证
祝愉快! 
为方便理解,请参看附图:

证明钝角三角形ABC,垂心H,满足tanAHA+tanBHB+tanCHC=0,HA,HB,HC与0都是向量 怎么证明钝角三角形满足正弦定理 怎么证明钝角三角形满足正弦定理 如果三角形ABC是钝角三角形,怎样证明正弦定理?  如果三角形ABC是钝角三角形,怎样证明正弦定理? 在△ABC中,(1)求证:cos^2(A+B)/2+cos^2(C/2)=1 (2)若cos(π/2+A)sin(3/2π+B)tan(C-π)<0,证明ABC为钝角三角形 在△ABC中,(1)求证:cos^2(A+B)/2+cos^2(C/2)=1 (2)若cos(π/2+A)sin(3/2π+B)tan(C-π)<0,证明,三角形ABC为钝角三角形. 若三角形ABC的两个内角α,β满足tanα*tanβ小于1,判断三角形的形状怎么证明啊 当两个钝角三角形满足SSA时是否全等(请证明)?注意是两个钝角三角形一定全等 钝角三角形ABC三边为 a,b,c证明:c2=a2+b2-2abcosC 证明 若三角形三个内角正弦的平方和小于2,则三角形ABC是钝角三角形 在钝角三角形 ABC中,C是钝角,R是外接圆半径,如何证明c=sinC2R “cosA=2sinBsinC”是“三角形ABC钝角三角形”的什么条件并证明 1.用反证法证明,三角形ABC中,若cosA *cosB * cosC小于0,则三角形ABC是钝角三角形.2.用反证法证明,已知正数x,y满足x+y=2,求证:(1+y)/2大于等于2和(1+x)/2大于等于2中,至少有一个成立.2.用反证法证明,已知 钝角三角形abc中,h是三条高的交点,角b为50度,则角abc是多少度?有图更好, 钝角三角形怎么证明正弦定理? 怎样证明三角形是钝角三角形 请证明:在三角形ABC中,有tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1