作业帮已知抛物线C1：x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点 1、求C2离心率2、设Q（3,b）,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若三角形QMN的重心在抛物线C1上,求C1、C2方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 11:26:58
已知抛物线C1：x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点 1、求C2离心率2、设Q（3,b）,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若三角形QMN的重心在抛物线C1上,求C1、C2方程
已知抛物线C1：x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点 1、求C2离心率
2、设Q（3,b）,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若三角形QMN的重心在抛物线C1上,求C1、C2方程
已知抛物线C1：x^2+by=b^2经过椭圆C2:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点 1、求C2离心率2、设Q（3,b）,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若三角形QMN的重心在抛物线C1上,求C1、C2方程
1)椭圆焦点坐标为F（正负c,0）,代入C2方程得c^2=b^2=a^2-c^2,所以离心率=c/a=√2/2
2>由（1）得 a^2=2b^2
把变过之后的椭圆方程与抛物线的联立 得 2y^2-by^2-b^2=o 得y=-b/2或b(由图可知应舍去）
所以 x=正负(√6/2)b 所以可得到M N的坐标
看图（我相信你有图哈）MN交y轴于o点 o为MN的中点 因为重心是三角形中线的交点且存在一个1:2的比例
连接OQ 因为易得O Q的坐标,可以算出OQ直线方程 得OQ交X轴于（1,0） 设为点E
因为发现QE为EO的两倍 所以 三角形QMN的重心坐标为（1,0） （貌似复杂了些 或许有其他办法呢）
将E代入抛物线方程 得 b=1 a^2=2
椭圆方程 ：x^2/2+y^2=1 抛物线 ：x^2=y=1
（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（-，c，0），F2（c，0），
所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2
得椭圆C2的离心率e=22．
（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：
x22b2+y2b2=1
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0，
解得：y=-b2或y=b（舍去）...
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（1）因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1（-，c，0），F2（c，0），
所以c2+b×0=b2，即c2=b2，由a2=b2+c2=2c2
得椭圆C2的离心率e=22．
（2）由（1）可知a2=2b2，椭圆C2的方程为：
x22b2+y2b2=1
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得：2y2-by-b2=0，
解得：y=-b2或y=b（舍去），所以x=±62b，
M(-62b，-b2)，N(62b，-b2)，所以△QMN的重心坐标为（1，0）．
因为重心在C1上，所以12+b×0=b2，得b=1．
所以a2=2．
所以抛物线C1的方程为：x2+y=1，
椭圆C2的方程为：x22+y2=1．
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