作业帮高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）题1.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,且f（0）≠0,f（1/2）=0 一求证：f（x）是偶函数.二求证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:58:12
高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）题1.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,且f（0）≠0,f（1/2）=0 一求证：f（x）是偶函数.二求证
高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）
题1.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,且f（0）≠0,f（1/2）=0 一求证：f（x）是偶函数.二求证：f（x）是周期函数.三若f（x）在[0,1]内是单调函数,求f（1/3）与f（1/6）的值.
题2.函数f（x）=x²+2x+a在[1/2,正无穷]上是增函数,则实数a的取值范围为
题3.函数f（x）=log7（ax²+2x+1）7为底数在（1,正无穷）上是增函数,则实数a的取值范围为?
题4.已知函数f（x）=x²+a/x（x≠0,a∈R）,若f（x）在区间（2,正无穷）上是增函数,求实数a的取值范围.
不好意思 第二题 为函数 f（x）=（x²+2x+a）/x
高中数学中证明奇偶函数、周期函数、含参的等问题（各种方法的思路）题1.定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）,且f（0）≠0,f（1/2）=0 一求证：f（x）是偶函数.二求证
题1：（1）令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
令y=0,有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
注意到x与y是同等关系的(即x与y的位置可以调换）
于是,由上面两式可以等到f(x)=f(-x),(两式相减）定义域为R,所以为偶函数.
(2)令y=1/2,则有f(x+1/2)+f(x-1/2)=0,即f(x+1/2)=-f(x-1/2)=f(1/2-x),（*）
再令x+1/2=t,x=t-1/2,（*）式则为f(t)=f(t+1)
所以 f（x）是周期函数.
（3）令x=1/3,y=1/6,有f(1/2)+f（1/6）=2f(1/3)f（1/6）又f（1/2）=0,
所以f（1/6）[1-2f(1/3)]=0,因为f（x）在[0,1]内是单调函数,所以f(1/6)不为0,所以f(1/3)=1/2,
同样方法可以求f(1/6)的值.
题2,在[1/2,正无穷]上是增函数,说明函数f（x）=x²+2x+a的对称轴在1/2的左边.显然,f（x）=x²+2x+a对称轴为x=-1,与a无关,则属于R.二次函数,配方可以解决单调性,值域等问题.
题3,外函数是增函数,则内涵数也要为增函数（同增异减),所以a＞0,且对称轴在1的左边,另外,还要确保当x=1时,ax²+2x+1＞＝0,即-2/a＜＝1,a+3＞＝0,即-3＜＝a＜＝-1/2.
题4最好的方法是求导,然后分离常数,你有学吗?
f'(x)=2x-a/x^2=(2x^3-a)/x^2,因为f（x）在区间（2,正无穷）上是增函数,所以f'(x)的值＞＝0（x＞2）,只要2x^3-a＞＝0即2x^3＞＝a,即a＜＝12（因为当x=2时有意义,当x=2时,2x^3取最小值）
证明奇偶性,首先考虑定义域,其次再考虑其它,像第一题那种抽象函数,一般用赋值法去做.
周期性的题,有些会比较难点想到,很多时候会用换元法.
含参数的题,有分离常数,有分类讨论等等.