如图,一个边长为20正方形中有一个半圆和四分之一圆,求图中阴影部分的面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 04:16:30

如图,一个边长为20正方形中有一个半圆和四分之一圆,求图中阴影部分的面积
如图,一个边长为20正方形中有一个半圆和四分之一圆,求图中阴影部分的面积

如图,一个边长为20正方形中有一个半圆和四分之一圆,求图中阴影部分的面积
建系（省我废话了左下角原点,同单位长度）
曲线方程1 y=20-√（100-（x-10）²） 20≥x≥0
2 y=√{（40-x）x} 20≥x≥0
左侧图形面积需要积分联立2条曲线求交点横坐标x0（＜10）得到x0=4或20(舍）
△y=20-√（100-（x-10）²）-√{（40-x）x}
对其积分根式函数用第二代换法
S(x)=20x-50arcsin（x/10-1)-25sin2(arcsin(x/10-1)-200arcsin(x/20-1)-100sin2(arcsin(x/20-1)
+c
S(0)=0 C=-125π
S(4)=80-125π+50arcsin(3/5)+24+200arcsin(4/5)+96
=200+50arcsin(3/5)+200arcsin(4/5)-125π （arcsinx+arccosx=π/2)
=200+25π+150arccos(3/5)-125π
=200-100π+150arccos（3/5)
所求=1/2(π100）-（400-S(4)-1/4（π400））=50π-200+150arccos(3/5)
(若将arccos(3/5)粗略当做57°则可以得到所求约等97.5π-200约等106.305283725）
PS （1）高二的就这水平了计算很复杂BT可能错这题高考都不能考
（2）大半夜的我都算40min了手写的

本题属于图形的重叠问题，所以
S阴=1/4S圆+1/2S圆 —S正
=1/4 π20²+1/2 π10²-20²
=150π-400
=471-400
=71

S阴=1/4半径为20的S大圆+1/2半径为20／2的S小圆 —S正
=1/4 ×3.14×20²+1/2 ×3.14×10²-20²
=150×3.14-400
=471-400
=71

根据题意: ΔEDF和ΔEFG 是直角Δ .EF² =20 ²+10² EF=10√5 sin ∠DFE=10÷10√5 ∠DFE =26.565 ° ∠DEF= 90°- 26.565 °=63.435 ° ∠DFG= 26.565 °×2=53.13 ° ∠DEG = 63.435 °×2=126.87 ° 四边形EDFG的面积=20×10=200 图中：上扇形的面积= 3.14×10²× 126.87 ÷360≈110.659 下扇形的面积= 3.14×20²×53.13 ÷360≈185.365 S1= 四边形EDFG的面积- 下扇形的面积 =200- 185.365 =14.635 S2= 四边形EDFG的面积- 扇形的面积 =200-110.659 =89.341 阴影部分的面积= 200-(14.635+89.341)=96.024