请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程1 试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同2 求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数.(2)被22除余数

请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程1 试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同2 求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数.(2)被22除余数
请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程
1 试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同
2 求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数.(2)被22除余数为5.(3)它是完全平方数.
3 求证：四个连续的整数的积加上1,等于一个奇数的平方

请给出这三道关于完全平方数的题的完全过程1 试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同2 求满足下列条件的所有自然数：(1)它是四位数.(2)被22除余数
1 aabb=m^2
1000a+100a+10b+b=m^2
1100a+11b=m^2
11(100a+b)=m^2
显然100a+b能整除11
11*4^2=176舍
11*5^2=275舍
11*6^2=396舍
11*7^2=539舍
11*8^2=704显然如果a=7,b=4成立
所以这个数是7744=88^2
3 设连续的整数4个数为a,a+1,a+2,a+3
四个连续的整数的积加上1=a(a+1)(a+2)(a+3)+1
=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1
3、设四个连结整数分别为a、a＋1、a＋2、a＋3,则：
a(a＋1)(a＋2)(a＋3)＋1
＝[a(a＋3)][(a＋1)(a＋2)]＋1
＝(a^2＋3a)(a^2＋3a＋2)＋1
＝(a^2＋3a)^2＋2(a^2＋3a)＋1
＝(a^2＋3a＋1)^2
＝[a(a＋3)＋1]^2
由于a与a＋3奇偶性不同,故a(a＋3)是偶数,从而a(a＋3)＋1是奇数所以是奇数平方
2由于所求的数是平方数,故可设所求的数为a^2
∴1000≤a^2≤9999
∴32≤a≤99
设a＝22m＋n(0≤n≤21),则a^2＝484m^2＋44mn＋n^2＝22(22m^2＋2mn)＋n^2,由已知,n^2被22整除余5,满足条件的n只有7或15
n＝7时,a＝22m＋7,得：32≤22m＋7≤99,2≤m≤4
可得a＝51、73、95,相应的四位数为2601、5329、9025
n＝15时,a＝22m＋15,得：32≤22m＋15≤99,1≤m≤3
可得a＝37、59、81,相应的四位数为1369、3481、6561
故所求的自然数有六个：2601、5329、9025、1369、3481、6561

第三题列一下就好了！第一题aabb等于11*a0b等于11*a1b a1b同于0mod10a1b等于6411乘64等于7744

1、设这个四位数为aabb
则这个四位数等于1100a＋11b＝11(100a＋b)＝11(99a＋a＋b)
所以11｜(a＋b)
又a＋b≤9＋9＝18
∴a＋b＝18
当a＝9，b＝2时，四位数＝11×902＝11^2×82，不合题意；
当a＝8，b＝3时，四位数＝11×803＝11^2×73，不合题意；
当a＝7，b＝4时，四位数＝11...

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1、设这个四位数为aabb
则这个四位数等于1100a＋11b＝11(100a＋b)＝11(99a＋a＋b)
所以11｜(a＋b)
又a＋b≤9＋9＝18
∴a＋b＝18
当a＝9，b＝2时，四位数＝11×902＝11^2×82，不合题意；
当a＝8，b＝3时，四位数＝11×803＝11^2×73，不合题意；
当a＝7，b＝4时，四位数＝11×704＝11^2×64＝88^2，符合题意；
当a＝6，b＝5时，四位数＝11×605＝11^2×55，不合题意；
当a＝5，b＝6时，四位数＝11×506＝11^2×46，不合题意；
当a＝4，b＝7时，四位数＝11×407＝11^2×37，不合题意；
当a＝3，b＝8时，四位数＝11×308＝11^2×28，不合题意；
当a＝2，b＝9时，四位数＝11×209＝11^2×19，不合题意
∴满足条件的四位数只有一个：7744＝88^2
2、由于所求的数是平方数，故可设所求的数为a^2
∴1000≤a^2≤9999
∴32≤a≤99
设a＝22m＋n(0≤n≤21)，则a^2＝484m^2＋44mn＋n^2＝22(22m^2＋2mn)＋n^2，由已知，n^2被22整除余5，满足条件的n只有7或15
n＝7时，a＝22m＋7，得：32≤22m＋7≤99，2≤m≤4
可得a＝51、73、95，相应的四位数为2601、5329、9025
n＝15时，a＝22m＋15，得：32≤22m＋15≤99，1≤m≤3
可得a＝37、59、81，相应的四位数为1369、3481、6561
故所求的自然数有六个：2601、5329、9025、1369、3481、6561
3、设四个连结整数分别为a、a＋1、a＋2、a＋3，则：
a(a＋1)(a＋2)(a＋3)＋1
＝[a(a＋3)][(a＋1)(a＋2)]＋1
＝(a^2＋3a)(a^2＋3a＋2)＋1
＝(a^2＋3a)^2＋2(a^2＋3a)＋1
＝(a^2＋3a＋1)^2
＝[a(a＋3)＋1]^2
由于a与a＋3奇偶性不同，故a(a＋3)是偶数，从而a(a＋3)＋1是奇数，结论成立

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设这个数为K，令K=M+1,M=N*(N+1)(N+2)(N+3)，
由上式可见M为偶数，所以K为奇数,所以由下面完全平方数的性质可知K为一个奇数的平方。
平方数的性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100a...

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设这个数为K，令K=M+1,M=N*(N+1)(N+2)(N+3)，
由上式可见M为偶数，所以K为奇数,所以由下面完全平方数的性质可知K为一个奇数的平方。
平方数的性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 分别平方后，得 (10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 (10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 (10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a+5a+1)+5 (10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a+7a+2)+9 (10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a+9a+4)+1 综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；

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