作业帮用归纳法证明（1+x）^n 大于等于1+nx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 06:03:44
用归纳法证明（1+x）^n 大于等于1+nx
用归纳法证明（1+x）^n 大于等于1+nx
用归纳法证明（1+x）^n 大于等于1+nx
（ 这里x有取值范围吧,比如x>-1）
证明：n=1时,（1+x）^1=1+x;
假设n=k时,不等式成立,即(1+x)^k>=1+kx.则当n=k+1时,
（1+x）^(k+1)=[(1+x)^k]（1+x）>=(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x
从而不等式对n=k+1成立.
有归纳法原理,不等式得证.
当n=1
1+x=1+x
所以当n=1时结论成立
假设对于n=k结论成立，(1+x)^k>=1+kx
当n=k+1
(1+x)^(k+1)=[(1+x)^k]*(1+x)
>=(1+kx)(1+x)
>=1+(k+1)x+kx^2
...
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当n=1
1+x=1+x
所以当n=1时结论成立
假设对于n=k结论成立，(1+x)^k>=1+kx
当n=k+1
(1+x)^(k+1)=[(1+x)^k]*(1+x)
>=(1+kx)(1+x)
>=1+(k+1)x+kx^2
>=1+(k+1)x
所以当n=k+1结论成立
由归纳法得证，（1+x）^n 大于等于1+nx 对于所有n都成立
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当n=1时，(1+x)^n=1+x>=1+nx，命题成立
假设n-1时成立，即(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x
则(1+x)^n=(1+x)^(n-1)*(1+x)
=(1+(n-1)x)*(1+x)
=1+nx+(n-1)*x^2 (由于当n>1时，(n-1)*x^2>=0)
>=1+nx
由归纳法得证
这个是经典的伯努利不等式。 数学中的伯努利不等式是说：
对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立。可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)^n>1+nx。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
设x>-1,且x≠0,n是正整数,则(1+x)^n≥1+nx. ...
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这个是经典的伯努利不等式。 数学中的伯努利不等式是说：
对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立。可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)^n>1+nx。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
设x>-1,且x≠0,n是正整数,则(1+x)^n≥1+nx.
证明:
当n=1,上个式子成立,
设对n-1,有(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立；
则(1+x)^n=(1+x)^(n-1)(1+x）
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
>=1+nx
这就是说，对n时也成立。
所以问题得证。
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