空间四边形ABCD中,E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点.且FE//GH,.求证:EF//BD

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:05:22
空间四边形ABCD中,E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点.且FE//GH,.求证:EF//BD

空间四边形ABCD中,E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点.且FE//GH,.求证:EF//BD
空间四边形ABCD中,E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点.且FE//GH,.求证:EF//BD

空间四边形ABCD中,E ,F,G,H分别是AB;AD;CD;CB上的点.且FE//GH,.求证:EF//BD
证明：连接BD,在△HCD中,GH是中位线,所以BD//GH；同理可得,在△ABD中,FE//BD;
所以,综上,EF//BD.

EF//GH，根据线面平行定理FE//平面BCD；
EF在平面ABD上，因为BD是平面BCD与平面ABD的交线；
所以根据线面平行的性质，EF//BD

证明：连接BD，在△HCD中，GH是中位线，所以BD//GH；同理可得，在△ABD中，FE//BD;
所以，综上，EF//BD.

该问题即转化为两相交平面的交线为BD，两平面内各有一直线为EF//GH，证明EF与交线BD平行。这其实是个定理。不过反证，反设EF与BD相交于K，因为EF//GH，所以EF//面BCD，所以EF与面BCD无交点，又因为两平面相交，交点都在同一直线上，故面ABD与面BCD交点都在BD上，EF在面ABD上，且K在BD上，即K在面BCD上，即EF与面BCD有交点，矛盾，故EF//BD...

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该问题即转化为两相交平面的交线为BD，两平面内各有一直线为EF//GH，证明EF与交线BD平行。这其实是个定理。不过反证，反设EF与BD相交于K，因为EF//GH，所以EF//面BCD，所以EF与面BCD无交点，又因为两平面相交，交点都在同一直线上，故面ABD与面BCD交点都在BD上，EF在面ABD上，且K在BD上，即K在面BCD上，即EF与面BCD有交点，矛盾，故EF//BD

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