作业帮设{an}是由正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有正整数n,有 an=2√2Sn-2（Sn在根号里面）.1求这个数列的前3项.2推证出等差公式“对于所有正整数n”这句话能否说明这数列等差?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 20:37:36
设{an}是由正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有正整数n,有 an=2√2Sn-2（Sn在根号里面）.1求这个数列的前3项.2推证出等差公式“对于所有正整数n”这句话能否说明这数列等差?
设{an}是由正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有正整数n,有 an=2√2Sn-2（Sn在根号里面）.
1求这个数列的前3项.
2推证出等差公式
“对于所有正整数n”这句话能否说明这数列等差?
设{an}是由正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有正整数n,有 an=2√2Sn-2（Sn在根号里面）.1求这个数列的前3项.2推证出等差公式“对于所有正整数n”这句话能否说明这数列等差?
求这个数列的前3项的过程就不重复了：a1=2,a2=6,a3=10
现证此数列是等差数列：
由an=2√2Sn-2得：
8sn=(an)^2+4an+4 (1)
于是：8s(n-1)=[a(n-1)]^2+4a(n-1)+4 (2)
由(1)-(2)得：8an=(an)^2+4an-[a(n-1)]^2-4a(n-1)
化简整理得：[an+a(n-1)][an-a(n-1)]=4[an+a(n-1)]
由于：{an}是由正数组成的数列,所以an+a(n-1)≠0
所以：an-a(n-1)=4
所以｛an}公差为4的等差数列
1. a1=2√(2S1)-2=2√(2a1)-2
==> a1=2
a2=2√(2S2)-2=2√[2(a1+a2)]-2=2√[2(2+a2)]-2
==> a2=6 (a2=-2被an是正数所排除掉)
同理
a3=2√(2S3)-2=2√[2(a1+a2+a3)]-2=2√[2(2+6+a3)]-2
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1. a1=2√(2S1)-2=2√(2a1)-2
==> a1=2
a2=2√(2S2)-2=2√[2(a1+a2)]-2=2√[2(2+a2)]-2
==> a2=6 (a2=-2被an是正数所排除掉)
同理
a3=2√(2S3)-2=2√[2(a1+a2+a3)]-2=2√[2(2+6+a3)]-2
==> a3=10 (a3=-6被an是正数所排除掉)
2. 为了在这里表达清楚，a_(n)表示an，n为下标
利用数学归纳法
a1=2
a2=6
a3=10
假设 a_(n)=4n-2
则S_(n)=(4n-2+2)*n/2=2n^2
则a_(n+1)=2√[2S_(n+1)]-2=2√{2[S_(n)+a_(n+1)]}-2
解得
a_(n+1)=4n+2=4(n+1)-2
根据数学归纳法，证毕
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