一道高一关于向量的数学题,已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1),若m垂直于n,且a+b=10,则三角形ABC周长的最小值为?为什么?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 16:23:49
一道高一关于向量的数学题,已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1),若m垂直于n,且a+b=10,则三角形ABC周长的最小值为?为什么?

一道高一关于向量的数学题,已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1),若m垂直于n,且a+b=10,则三角形ABC周长的最小值为?为什么?
一道高一关于向量的数学题,
已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1),若m垂直于n,且a+b=10,则三角形ABC周长的最小值为?为什么?

一道高一关于向量的数学题,已知a,b,c分别为三角形ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1),若m垂直于n,且a+b=10,则三角形ABC周长的最小值为?为什么?
m垂直于n
m*n=0
(2cosC-1)*(cosC)-2(cosC+1)=0
2(cosC)^2-3cosC-2=0
cosC=-1/2
C=120
根据余弦定理,c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=100-ab
由于a+b≥2(ab)^(1/2),25≥ab,-ab≥-25
所以c^2=100-ab≥75
所以周长最小值为10+75^(1/2)=10+5倍根号3

∵m垂直于n
m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1)
∴2cos2C-cosC-2cosC-2=0
(cosC-2)(2cosC+1)=0
∴cosC=-0.5
∠C=120
又∵a+b=10
由正弦定理得三角形ABC周长的最小值为10+5√3
祝你学业有成!!

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