高中数学圆锥曲线难题在任意一个椭圆上,找一点M,过M作两条直线l1,l2,l1交x轴与P,交椭圆于A,l2交x轴于Q,交椭圆于B,使得他们与X轴形成的角相等即 三角形MPQ是等腰三角形, 过M作关于x轴的对称点M

高中数学圆锥曲线难题在任意一个椭圆上,找一点M,过M作两条直线l1,l2,l1交x轴与P,交椭圆于A,l2交x轴于Q,交椭圆于B,使得他们与X轴形成的角相等即 三角形MPQ是等腰三角形, 过M作关于x轴的对称点M
高中数学圆锥曲线难题
在任意一个椭圆上,找一点M,过M作两条直线l1,l2,l1交x轴与P,交椭圆于A,l2交x轴于Q,交椭圆于B,使得他们与X轴形成的角相等即 三角形MPQ是等腰三角形, 过M作关于x轴的对称点M',求证 ： AB的斜率与过M'的椭圆的切线斜率相等

高中数学圆锥曲线难题在任意一个椭圆上,找一点M,过M作两条直线l1,l2,l1交x轴与P,交椭圆于A,l2交x轴于Q,交椭圆于B,使得他们与X轴形成的角相等即 三角形MPQ是等腰三角形, 过M作关于x轴的对称点M
给你另个简单的思路分析吧：
一般人看到这题会由已知经过各种复杂的推导来算得过M'的斜率,然后比较AB斜率,来达到证明的目的.
但是经过比较细心的观察,你会发现AB直线在M关于y轴对称的M''点处切线和过M‘的切线之间平移.
既然是平移,那么M’‘与M’的相同斜率即M处斜率的相反数就是这一系列直线的斜率了,我想M处的斜率怎么求就不用说了吧,可以直接求导方便一些,得到这一系列直线斜率就简单了,
随便设出一条直线方程,跟椭圆方程联立（不用直接解出根）得到两个根之间联系.
最后把这两个根和M点联立,发现两个的斜率绝对值相等（这是与条件：等腰三角形MPQ相契合）
总结：这种方法与上面那位方法比较发现：他是利用等腰三角形来得到AB斜率,直接证明.
这种方法是用某一斜率来推得等腰三角形,显然这个斜率就是切线斜率.不管用什么方法,对于高中平面解析几何来说,分析好个已知条件直接的内在联系后,解法自然而来,当然各种方法是想通的,喜欢哪种方式还不是因人而异.像这种综合性不强的题目是很容易理清各要素之间的联系的.然后就是一个计算能力问题了（这个恐怕也是你所谓难题的由来吧,当然很多学生都是因为自己计算能力不行才放弃这类题目的,想当年我经过高考时,做了无数题,然后计算能力上去了自然思路也会开阔很多,所谓见多识广嘛,当你达到还没有读完题目就已经想出这是个什么题目,并且脑海中自然就冒出了具体解题思路后,你就离游刃有余不远了,一道综合性平面解析几何3问解答完,不会超过8分钟的.希望你早日实现这种境界.

证明：不失一般性，设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) ①
其上任一点M(acost,bsint)
其关于x轴的对称点为M'(acost,-bsint)。
设直线l1的方程为
y-bsint=k(x-acost) ②
则直线l2的方程为
y-bsint=-k(x-acost) ③
将②代入...

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证明：不失一般性，设椭圆方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0) ①
其上任一点M(acost,bsint)
其关于x轴的对称点为M'(acost,-bsint)。
设直线l1的方程为
y-bsint=k(x-acost) ②
则直线l2的方程为
y-bsint=-k(x-acost) ③
将②代入①，有
b^2*x^2+a^2*[bsint+k(x-acost)]^2=a^2b^2 ④
整理得
(k^2a^2+b^2)x^2-2ka^2(kacost-bsint)x+a^2(a^2cos^2t-2kabsintcost+b^2sin^2t-b^2)=0
由韦达定理可得
x1+x2=2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2) ⑤
显然x1=acost满足方程④，代入⑤可得A点横坐标为
x2=2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-acost
于是A点纵坐标为
y2=bsint+k(x2-acost)
将③代入①，有
b^2*x^2+a^2*[bsint-k(x-acost)]^2=a^2b^2 ⑥
整理得
(k^2a^2+b^2)x^2-2ka^2(kacost+bsint)x+a^2(a^2cos^2t+2kabsintcost+b^2sin^2t-b^2)=0
由韦达定理可得
x1+x3=2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2) ⑦
显然x1=acost满足方程⑥，代入⑦可得B点横坐标为
x3=2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2)-acost
于是B点纵坐标为
y3=bsint-k(x2-acost)
则直线AB的斜率为
K'=(y2-y3)/(x2-x3)=2k(x2-acost)/(x2-x3)
=2k[2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-2acost]/[2ka^2(kacost-bsint)/(k^2a^2+b^2)-2ka^2(kacost+bsint)/(k^2a^2+b^2)]=(bcost)/(asint) ⑧
椭圆方程b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2两边对x求导得
2b^2*x+2a^2*yy'=0
解得
y'=-b^2*x/(a^2*y)
而M'(acost,-bsint)，故过M'点得切线斜率为
y'=-b^2*acost/[a^2*(-bsint)]=(bcost)/(asint) ⑨
由⑧和⑨可知命题成立。
直接法比较麻烦，计算量很大。但只要思路正确，往往能够成功。

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