线代证明题求解设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 18:50:51

线代证明题求解设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.
线代证明题求解
设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.

线代证明题求解设A是n阶方阵,且满足R(E+A)+R(E-A)=n,试证：A满足A^2=E.
Only_唯漪的证法我好像没有看懂的样子……果然代数都忘光了,
这里给出一种Jordan标准型的证法参考一下：
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∵R(E+A)+R(E-A)=n
∴不妨设R(E+A)>0,R(E-A)>0（否则有R(E-A)=0或者R(E+A)=0,说明A=E或-E,命题已经成立）
∴|E+A|=|E-A|=0（∵其秩非满）
∴A有特征值-1、1
而n-R(E+A)恰好是特征值-1对应的特征向量维数、n-R(E-A)恰好是1对应的特征向量维数
A的特征向量维数和=n（计重数）
∴A的Jordan标准型就是一块为-1（R(E-A)阶）,一块为1（R (E+A)阶）
即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J
计算一下上式平方,就有A^2=E

证明: 因为 A^2=E
所以 (A-E)(A+E) = 0.
所以 r(A-E)+r(A+E) <= n.
又 (E-A) + (E+A) = 2E
所以 n = r(2E) = r[ (E-A)+(E+A)] <= r(A-E)+r(A+E).
所以 r(A-E)+r(A+E) = n.
供您参考一下...反着证明就OK了...

全部展开

我给一个不用到相似矩阵的证明, 不过本质上是一样的.
方法是考虑线性方程组(E-A^2)X=0, 我们给出n个线性无关的解就能说明r(E-A^2)=0, 即A^2=E.
实际上由(E-A^2)=(E+A)(E-A)=(E-A)(E+A), (E-A)X=0与(E+A)X=0的解都是(E-A^2)X=0的解.
而由条件r(E+A)+r(E-A)=n, 这两个方程组的基础解系合在一起恰有n个.
但(E-A)X=0与(E+A)X=0的公共解只有0解(相加得2EX=0).
所以这n个解线性无关(这里需要一些证明, 可以试着自己补一下).

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