作业帮函数f(x)对任意的m,n属于R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且对x>0,有f(x)>1.(1)证f(x)在R上的单调性
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 10:35:12
函数f(x)对任意的m,n属于R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且对x>0,有f(x)>1.(1)证f(x)在R上的单调性
函数f(x)对任意的m,n属于R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且对x>0,有f(x)>1.(1)证f(x)在R上的单调性
函数f(x)对任意的m,n属于R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且对x>0,有f(x)>1.(1)证f(x)在R上的单调性
1.∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1
当m=n=0时,f(0)=f(0)+f(0)-1
∴f(0)=1
当m+n=0时,f(0)=f(m)+f(-m)-1
∴-f(m)=f(-m)-1
∴-f(x)=f(-x)-1
在R上任取x1>x2,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)-1
=f(x1-x2)-1
又∵当x>0时,f(x)>1
∴f(x1-x2)-1＞0
∴f(x1)>f(x2)
因此该函数在定义域上单调递增
证明：
1 令n=0;有
根据 f(m+n)=f(m)+f(n)-1有f(m)=f(m)+f(0)-1
即是 f(m)-f(m)=f(0)-1=0 即f(0)=1 （式1）
2 根据 f(m+n)=f(m)+f(n)-1
有 f(m+n)-f(m)=f(n)-1 (式2)
结合数学归纳法根据（式2）
分为n>=...
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证明：
1 令n=0;有
根据 f(m+n)=f(m)+f(n)-1有f(m)=f(m)+f(0)-1
即是 f(m)-f(m)=f(0)-1=0 即f(0)=1 （式1）
2 根据 f(m+n)=f(m)+f(n)-1
有 f(m+n)-f(m)=f(n)-1 (式2)
结合数学归纳法根据（式2）
分为n>=0,n<0两个方面进行证明。
（1）对任意n>=0; 令x1=m+n; x2=m; 有x1>=x2,
又根据对于任意x>0,有f(x)>1,
因此 f(x1)-f(x2)=f(n)-1>=1-1=0
即是，对于任意x1>x2,有f(x1)>f(x2)
根据函数单调性定义，f(x)单调递增
（2）对n<0，则-n>0，令x1=m-n=m+(-n),x2=m; 有x1>x2,
又根据对于任意x>0，有f(x)>1,
因此f(m+(-n))=f(m)+f(-n)-1 等价于
f(x1)-f(x2)=f(-n)-1>1-1=0
根据函数单调性定义，f(x)单调递增
综上所述，函数f(x)在R上单调递增
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