边长为a的正三角形ABC中有边长为b的正三角形DEF,如图,求三角形ADF内接圆R的半径是多少?

边长为a的正三角形ABC中有边长为b的正三角形DEF,如图,求三角形ADF内接圆R的半径是多少?
边长为a的正三角形ABC中有边长为b的正三角形DEF,如图,求三角形ADF内接圆R的半径是多少?

边长为a的正三角形ABC中有边长为b的正三角形DEF,如图,求三角形ADF内接圆R的半径是多少?
因为三角形ABC和DEF都是正三角形,角A,角B,角C,角D,角E,角F均等于60度,
所以,角ADF=角DEB=角EFC=120度-角BDF..DE=EF=DF,角A=角B=角C
所以ADF,BDE,CFE三个三角形全等,面积相等,DF=b,设AD=FC=m,则AF=a-m
分别从圆心向AD,DF,AF作垂直,即连接圆心到三边切点的线段,均为半径R,再连接AO,DO,FO,
三角形ADF的面积S=S-AOD+S-DOF+S-AOF
=1/2Rm+1/2Rb+1/2R(a-m)
=1/2R(a+b)
三角形ABC的面积S=1/2a*√3/2a=√3a²/4
三角形DEF的面积S=1/2b*√3/2b=√3b²/4
三角形ABC的面积S=3*(三角形ADF的面积S)+三角形DEF的面积S
即,√3a²/4=3*1/2R(a+b)+√3b²/4
R=√3/3(a-b)
三角形ADF内接圆R的半径是为√3/3(a-b)

这个可以用面积计算来求解。易证ADF、BED和CFE全等。
首先S(ABC)=a^2*(√3)/4，S(DEF)=b^2*(√3)/4
则S(ADF)=1/3 [S(ABC)-S(DEF)]=(a^2-b^2)*(√3)/12
又：AD+AF=a，DF=b
S(ADF)=1/2 *(AD+AF+DF)*r=(a+b)r/2
即：(a^2-b^2)*(√3)/...

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这个可以用面积计算来求解。易证ADF、BED和CFE全等。
首先S(ABC)=a^2*(√3)/4，S(DEF)=b^2*(√3)/4
则S(ADF)=1/3 [S(ABC)-S(DEF)]=(a^2-b^2)*(√3)/12
又：AD+AF=a，DF=b
S(ADF)=1/2 *(AD+AF+DF)*r=(a+b)r/2
即：(a^2-b^2)*(√3)/12 = (a+b)r/2
解得r=(a-b)√3 /6

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通过计算角的大小，易知角ADF=EFC,角AFD=FEC,

同时DF=EF,所以三角形ADF与三角形CFE全等，

所以AD=CF,所以三角形ADF的周长为a+b

同理三角形ADF与三角形BED全等，即这三个三角形全等

设半径为r，则有

易证△ADF≌△BED≌△CFE，

可求出S△ABC＝四分之根号3×a^2，S△DEF＝四分之根号3×b^2，

所以S△ADF＝十二分之根号3×（a^2－b^2），

又知S△ADF＝二分之一（AD＋DF＋AF）r，且AD＋DF＋AF=a+b,

解得：r=六分之根号3（a-b）。

因为三角形ABC和DEF都是正三角形,角A,角B,角C,角D,角E,角F均等于60度,
所以,角ADF=角DEB=角EFC=120度-角BDF..DE=EF=DF,角A=角B=角C
所以ADF,BDE,CFE三个三角形全等,面积相等,DF=b,设AD=FC=m,则AF=a-m
分别从圆心向AD,DF,AF作垂直,即连接圆心到三边切点的线段,均为半径R,再连接AO,DO,FO...

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因为三角形ABC和DEF都是正三角形,角A,角B,角C,角D,角E,角F均等于60度,
所以,角ADF=角DEB=角EFC=120度-角BDF..DE=EF=DF,角A=角B=角C
所以ADF,BDE,CFE三个三角形全等,面积相等,DF=b,设AD=FC=m,则AF=a-m
分别从圆心向AD,DF,AF作垂直,即连接圆心到三边切点的线段,均为半径R,再连接AO,DO,FO,
三角形ADF的面积S=S-AOD+S-DOF+S-AOF
=1/2Rm+1/2Rb+1/2R(a-m)
=1/2R(a+b)
三角形ABC的面积S=1/2a*√3/2a=√3a²/4
三角形DEF的面积S=1/2b*√3/2b=√3b²/4
三角形ABC的面积S=3*(三角形ADF的面积S)+三角形DEF的面积S
即,√3a²/4=3*1/2R(a+b)+√3b²/4
R=√3/3(a-b)
三角形ADF内接圆R的半径是为√3/3(a-b)

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