有关相似三角形的一些难题（要有图,有解析,.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 00:18:51

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、（02江苏盐城）已知：如图,在直角三角形ABC中,
∠BAC= 90°,AB= AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE= 45°,
（1）求证：BD•BC= BG•BE；
（2）求证：AG⊥BE；
（3）若E为AC的中点,求EF∶FD的值.
(1)因为∠FGE=∠BCA=45°所以G,E,D,C四点共圆
根据切割线定理,BD•BC= BG•BE
(2)因为EG•EB=BE•BE-BG•BE=BE•BE-BD•BC=BE•BE-BA•BA=AE•AE
所以EG•EB=AE•AE
又因为∠AEG=∠BEA
所以三角形AEG与三角形BEA相似
所以∠AGE=∠BAE=90° 所以AG⊥BE
(3)因为E为AC的中点,所以sin∠BEA=2/更号5 cos∠BEA=1/更号5
因为sin∠FGE=cos∠FGE=1/更号2
所以cos∠DFE=-cos(∠BEA+∠FGE)=sin∠FGE•sin∠BEA-cos∠FGE•cos∠BEA=1/更号10=EF∶FD(其中显然DE⊥AE 三角形AED为直角三角形）
所以EF∶FD=更号10/10

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