三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 10:30:03

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系
三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系
1.外接圆半径R：
根据正弦定理以及余弦定理：
a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝2R
a2＝2bc•cosA
可得：
cosA＝(b2＋c2－a2)／2bc
∵ sin2A＋cos2A＝1,∠A∈（0,180°）
∴ sinA＝√(1－cos2A)
＝√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)] / (2bc)
代入正弦定理a/sinA＝2R,得：
R＝2abc /√[(a2＋b2＋c2)2—2(a4＋b4＋c4)]
（三角形外接圆半径与三边边长、面积的关系可推导得：R=abc/4S）
2.内接圆半径r：
∵ r=2S/(a+b+c) (S是三角形面积)
且根据众所周知的秦九韶—海伦公式,
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p=(a+b+c)/2
∴ r=2√[p(p-a)(p-b)(p-c)] /(a+b+c)
3.三角形外接圆半径、内接圆半径与三边边长的关系可表示为：
R*r=(abc/4S)*[2S/(a+b+c)]=abc/2(a+b+c)
说明：
外接圆半径是指三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的交点到三个顶点的距离；
内接圆半径是指三角形三条边上的高线的交点到三条边的距离.

设三边长分别为a,b,c,设p=(a+b+c)/2,三角形面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c),
外接圆半径R=abc/4S
内心连结各顶点，得三个小三角形，高为内切圆半径。其面积之和等于大三角形面积，
S=r(a+b+c)/2,r=2S/(a+b+c)

内接圆：S（三角形）=0.5*（a+b+c）*r

三角形外接园与内接圆半径与三边边长的关系边长分别为3,4,5的三角形的内切圆与外接国半径之比. 三角形的三边和外接圆与内接圆半径有什么关系? 直角三角形内切圆的半径与三角形边长的关系任意角度的三角形的内切圆的半径与三角形三边有怎样的关系如何证明一般三角形内切圆半径与三角形三边的关系三角形的概念与三边关系请问知道内接圆的外接三角形的三边要怎么求半径三棱锥P-ABC的底面三角形ABC的边长为a,侧面与底面成α角,求其内切球与外接球的半径如题,求内切球与外接球半径边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接半径之比为多少?过程也出来了三角形的外接圆半径与三角形的边长有什么关系? 直角三角形内切圆的半径与三边的关系怎么证明? 直角三角形外接圆半径与三边的关系三边分别为9,40,41.求外接圆半径. 直角三角形的内切圆半径与三边关系公式怎么证明? 怎样求三角形内切圆面积?已知条件：三角形三边边长三角形的面积和内切圆半径有什么关系？请教三角形三边与角的余弦值的关系海伦定理证明?三角形面积与三边的关系在直角三角形的内接圆的半径与直角三角形三边有什么关系