作业帮如图,在六边形ABCDEFGz中,平面ABC‖平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.求证：BF∥平面ACGD.求二面角D-CG-F
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:34:38
如图,在六边形ABCDEFGz中,平面ABC‖平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.求证：BF∥平面ACGD.求二面角D-CG-F
如图,在六边形ABCDEFGz中,平面ABC‖平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
求证：BF∥平面ACGD.求二面角D-CG-F
如图,在六边形ABCDEFGz中,平面ABC‖平面DEFG,AD⊥平面DEFG,AB⊥AC,ED⊥DG.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.求证：BF∥平面ACGD.求二面角D-CG-F
证明：
(1)BF∥平面ACGD
取DG的中点M,连接AM、FM
易证四边形DEFM是平行四边形
∴MF∥DE,且MF＝DE
又AB∥DE,且AB＝DE
∴MF∥AB,且MF＝AB
∴四边形ABFM是平行四边形
∴BF∥AM
又BF￠平面ACGD,AM〔平面ACGD
∴BF∥平面ACGD
(2)求二面角D－CG－F的余弦值
∵四边形EFGD是直角梯形,AD⊥平面DEFG
∴DE⊥DG,DE⊥AD,即DE⊥平面ADGC
∵MF∥DE,且MF＝DE
∴MF⊥平面ADGC
在平面ADGC中,过点M作MN⊥CG,垂足为N,连接NF
显然,∠MNF是所求二面角的平面角
∵四边形ADGC中,AD⊥AC,AD⊥DG,AC＝DM＝MG＝1
∴CD＝CG＝√5
∴cos∠DGC＝MG/CG＝1/√5＝√5/5
∴sin∠DGC＝AD/CG＝2/√5＝2√5/5
∴MN＝MG•sin∠DGC＝2√5/5
在Rt△MNF中,MF＝DE＝2,MN＝2√5/5
∴FN＝√(MF²＋MN²)＝2√30/5,cos∠MNF＝MN/FN＝√6/6
故二面角D－CG－F的余弦值是√6/6