作业帮数学题己知等腰三角形ABC中AB=AC,D为三角形内一占,且有角ABD=2倍角ACD,若角ABC为45度,角BCD为30度,求证角DCA+角DAC为30度
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:23:23
数学题己知等腰三角形ABC中AB=AC,D为三角形内一占,且有角ABD=2倍角ACD,若角ABC为45度,角BCD为30度,求证角DCA+角DAC为30度
数学题己知等腰三角形ABC中AB=AC,D为三角形内一占,且有角ABD=2倍角ACD,若角ABC为45度,角BCD为30度,求证角DCA+角DAC为30度
数学题己知等腰三角形ABC中AB=AC,D为三角形内一占,且有角ABD=2倍角ACD,若角ABC为45度,角BCD为30度,求证角DCA+角DAC为30度
BC/BD＝sin∠BDC/sin∠BCD＝sin135°/sin30°＝sin45°/sin30°＝√2＝sin90°/sin45°＝BC/BA∴BD＝BA从而∠BAD＝∠BDA＝﹙180°－∠ABD﹚/2＝75°,∠DAC＝∠DCA＝15°从而∠DAC＋∠DCA＝30°;
另证,作DE⊥BC于E,在BE上取F,使EF＝EC,连接DF；设DE=m(m＞0﹚,则
∠ACD＝∠ACB－∠DCB＝45°－30°＝15°,∠ABD＝2∠ACD＝30°,∠CBD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°；
⊿CDE中,∠CED＝90°,∠DCE＝30°,CD＝2DE＝2m,CE＝√3m；EF＝EC＝√3m,∠BDF＝∠DFC－∠DBC＝∠DCB－∠DBC＝30°－15°＝15°＝∠DBF,∴FB＝FD＝DC＝2m,AD＝√﹙BE²＋DE²﹚＝√[﹙2m＋√3m﹚²＋m²]＝√﹙8＋4√3﹚m＝﹙√6＋√2﹚m;
⊿ABC中,∠BAC＝90°,AB=AC=BC/√2＝﹙2＋2√3﹚m/√2＝﹙√2＋√6﹚m＝BD;
⊿BAD中,∠ABD＝30°,BA＝BD∴∠BAD＝∠BDA＝﹙180°－30﹚÷2＝75°;
∴∠DAC＋∠DCA＝∠BAC－∠BAD＋∠DCA＝90°－75°＋15°＝30°
如图：由正弦定理得BD/sin30°=BC/sin135°，所以BD=BC/√2=AB，所以∠BAD=∠BDA=75°，所以∠DCA=∠DAC=15° 所以：∠DCA+∠DAC=30°
收起
要不你传张图上来，标好角