作业帮高数证明（中值定理学得好的瞧瞧!）设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 02:07:21
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高数证明（中值定理学得好的瞧瞧!）设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
高数证明（中值定理学得好的瞧瞧!）
设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明
对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得
f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]
成立
强人证之!
高数证明（中值定理学得好的瞧瞧!）设f(x)在[a,b]上连续,且二阶可导,证明对任意的c属于(a,b),总存在ζ属于(a,b),使得f’’(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]成立强人证之!
证明：
用Lagrange插值公式：
令F(x)=f(x)-g(x)
其中g(x)是由(a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))三个点确定的抛物线,
写成二次的Lagrange插值多项式形式：
g(x)=
f(a)[(x-b)(x-c)]/[(a-b)(a-c)]
+f(b)[(x-a)(x-c)]/[(b-a)(b-c)]
+f(c)[(x-a)(x-b)]/[(c-a)(c-b)]
那么显然有F(a)=F(b)=F(c)=0
利用洛尔定理：
在(a,c)中存在θ1,使得F'(θ1)=0
在(c,b)中存在θ2,使得F'(θ2)=0
在(θ1,θ2)中存在ζ,使得F''(ζ)=0
F''(x)=f''(x)-g''(x)
=f''(x)-2f(a)/[(a-b)(a-c)]-2f(b)/[(b-a)(b-c)]-2f(c)/[(c-a)(c-b)]
把x=ζ代入即得：
f''(ζ)/2=f(a)/[(a-b)(a-c)]+f(b)/[(b-a)(b-c)]+f(c)/[(c-a)(c-b)]
证毕!