作业帮15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪PB=PC▪PD；（2）设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF⊥AD；（3）若AB=8,CD=6,求OP的长.前2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 14:54:01
15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪PB=PC▪PD；（2）设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF⊥AD；（3）若AB=8,CD=6,求OP的长.前2
15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪PB=PC▪PD；
（2）设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF⊥AD；
（3）若AB=8,CD=6,求OP的长.
前2小问我能证明，就是第（3）小问我不会证明，
15.（2009,荆门）如图,半径为2√5的⊙内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.（1）求证：PA▪PB=PC▪PD；（2）设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证：EF⊥AD；（3）若AB=8,CD=6,求OP的长.前2
第三问,括号里是原因：
(3)作辅助线OM⊥AB于M.ON⊥CD于N, 并连接OP、OB、OC
∵OM⊥AB,所以BM=1/2AB=1/2×8=4 (原因：这个垂线是由圆心做的,想想垂径定理是怎么说的----垂直于弦的直径平分这个弦.则OM垂直平分AB.）
同理：ON⊥CD.所以NC=1/2×6=3 （ON垂直平分CD)
且OB、OC是直径=2√5 （题上所说）
因为垂直,所以所得的△OBM、△ONC是直角三角形.
∴在Rt△OBM中,OM=√OB²-BM²=√(2√5)²-4²=2（原因：利用勾股定理）
同理：在Rt△ONC中,ON²=√OC²-NC²=√(2√5)²-3²=√11（原因：同上）
我下面发一个图,直观一些.注意看图.
∵AB⊥CD,所以形成了一个直角∠DPB.且有OM⊥AB,ON⊥CD,所以得到另两个直角
∠OMP,∠ONP.则此时四边形ONPM是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴MP=ON=√11 （矩形对边相等）
∴在Rt△OMP中,OP=√MP²+OM²=√(√11²)+2²=√15
∴OP长为√15
总结：此题运用添加辅助线的方法来做.构造直角三角形,再用勾股定理,进行等量转化是常用的方法.
不知道你看得懂不.这是我想的方法,可能有点绕了些.添好辅助线以后的图在下方.
．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．
∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴ ，∴PA•PB＝PC•PD；
(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．
又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，
∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD
(3)作OM⊥AB于M，ON...
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．(1)∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．
∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴ ，∴PA•PB＝PC•PD；
(2)∵F为BC的中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．
又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，
∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD
(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：
∴OM²＝20－4²＝4，ON²＝20－3²＝11
又易证四边形MONP是矩形，
∴OP＝ 4
收起
过0向ab做垂涎交与M 连接oa oa=2倍根号5 am=4 则有OM=2 同理 做on 垂直CD于N 求的ON=根号11 则 由于AB垂直于CD OP=根号15