已知n是正整数,且n^2 -71能被7n+55整除,求n的值.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 02:29:58

已知n是正整数,且n^2 -71能被7n+55整除,求n的值.
已知n是正整数,且n^2 -71能被7n+55整除,求n的值.

已知n是正整数,且n^2 -71能被7n+55整除,求n的值.
方法一：
根据题意假设 (N^2-71)/(7n+55)=k(k为正整数）
则化简,N^2-7kN-71-55k=0 这个关于N的二次方程里面,N有整数解.说明判别式应当为完全平方数.就是 49k^2+284+220k 是完全平方数.
所以,可以假设 49k^2+284+220k=(7k+A)^2(A为整数)
化简得,k=(A^2-284)/(220-14A)
k是正整数,所以 (A^2-284)/(220-14A)＞0
解这个不等式,得15＜A＜17 所以得到A=16 代入k=(A^2-284)/(220-14A)
即可得到k＝7 然后再代入 (N^2-71)/(7n+55)=k
得到 N=57
注:^2代表平方
该看懂吧
方法二：
实际上解答者在(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2 这一步使用了放缩,即将49k2+220k+284经过适当的处理,使它可以用不等式和整数的连续性求出来,至于具体的这个放缩是如何想出来的,这就要看你的数学功底有多厚了.放缩法是常用的方法中一种较难的方法,它的困难之处就在于你不好掌握放缩的大小.例如这个题,如果不小心放缩为(7k+15)2＜49k2+220k+284＜(7k+18)2 或(7k+14)2＜49k2+220k+284＜(7k+17)2 等等,这样虽然在道理上都成立,但是结果就不容易出来了.要想掌握放缩法,只能通过做题掌握,这是一种只可意会,难于言传的东西,慢慢体会吧……
祝你学习天天向上,加油!

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