作业帮一个数学题,麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换,证明： (1)存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0； (2)σ可逆的充分必要条件是,存在一个常数项不为零的多项式f(x),
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:54:55
一个数学题,麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换,证明： (1)存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0； (2)σ可逆的充分必要条件是,存在一个常数项不为零的多项式f(x),
一个数学题,麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换,证明：
(1)存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0；
(2)σ可逆的充分必要条件是,存在一个常数项不为零的多项式f(x),使得f(σ)=0.
是个矩阵理论的题目。
一个数学题,麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换,证明： (1)存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0； (2)σ可逆的充分必要条件是,存在一个常数项不为零的多项式f(x),
(1)
因为σ是一个线性变换,则令其特征多项式为：
f(λ),根据Cayley-Hamilton定理,σ的特征多项式一定为σ的化零多项式.
∴f(σ)=0
又σ是3维实空间上的线性变换
则σ的特征多项式的次数不超过3
所以一定存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0.（不知道最后这里对不对啊,为什么题目会是9?）
(2)
=》设σ为可逆矩阵,则其特征值全不为零,令其特征值为λ1、λ2、λ3,则其特征多项式为：
f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3),此多项式的常数项为-λ1λ2λ3≠0
∴存在常数项不为零的多项式f(x)使得f(σ)=0
《=设存在一个常数项不为零的多项式f(x)使得f(σ)=0
由于σ的极小多项式一定整除σ的化零多项式
则σ的极小多项式的根一定是f(x)=0的根
又σ极小多项式的根一定是σ的特征值
∵f(x)=0的常数项不为零
∴0不是f(x)=0的根
即0不是σ的特征值
σ的特征值全不为零,所以σ为可逆矩阵
得证
一个数学题,麻烦大家给解决： 设σ是3维实线性空间V上的一个线性变换,证明： (1)存在一个次数小于9的多项式f(x),使得f(σ)=0； (2)σ可逆的充分必要条件是,存在一个常数项不为零的多项式f(x),
这个数学题.麻烦解决 .
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