一道坐标系与参数方程题,已知曲线C1 ：{x=-4+cost y=3+sint（t为参数）,C2：{x=8cosα y=3sinα（α为参数）.（1）化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 02:41:30

一道坐标系与参数方程题,已知曲线C1 ：{x=-4+cost y=3+sint（t为参数）,C2：{x=8cosα y=3sinα（α为参数）.（1）化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数
一道坐标系与参数方程题,
已知曲线C1 ：{x=-4+cost y=3+sint（t为参数）,C2：{x=8cosα y=3sinα（α为参数）.
（1）化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=π/2,Q为C2上的动点,求PQ中点到直线 C3{x=3+2t y=-2+t （t为参数）距离的最小值.

如图

（1）
C1:(x+4)²+(y-3)²=1 是圆
C2:(x²/64)+(y²/9)=1 是椭圆

（2）
点P为（-4，4）设Q（x，y）则(x²/64)+(y²/9)=1
C3化为普通方程为x-2y-7=0
PQ中点M为[(x-4)/2，(y+3)/2]

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（1）把曲线C1： x=-4+cost y=3+sint （t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y-3）2=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；
把C2： x=8cosθ y=3sinθ （θ为参数）化为普通方程得：x2 64 +y2 9 =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=π 2 代入到曲线C1的参数方程得：P（-4，4），
把直线C3： x=3+2t y=-2+t （t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+3 2 sinθ）
所以M到直线的距离d=|4cosθ-3sinθ-13| 5 =|5sin(α-θ)-13| 5 ，（其中sinα=4 5 ，cosα=3 5 ）
从而当cosθ=4 5 ，sinθ=-3 5 时，d取得最小值8 5 5 ．

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(1)C1:{x+4=cost y-3=sint
(x+4)²+(y-3)²=1
C1是以（-4,3）为圆心，半径为1的圆。
C2：{x/8=cosa,y/3=sina
x²/64+y²/9=1
C2是椭圆。
（2）
P坐标（-4,4）
PQ中点((8cosa-4)/2,(3sina+4)/2)...

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(1)C1:{x+4=cost y-3=sint
(x+4)²+(y-3)²=1
C1是以（-4,3）为圆心，半径为1的圆。
C2：{x/8=cosa,y/3=sina
x²/64+y²/9=1
C2是椭圆。
（2）
P坐标（-4,4）
PQ中点((8cosa-4)/2,(3sina+4)/2)=(4cosa-2,(3/2)sina+2)
直线C3：{x-3=2t 2(y+2)=2t
x-3=2y+4
x-2y-7=0
PQ中点到C3距离d=|4cosa-2-3sina-4-7|/根号5=|4cosa-3sina-13|/根号5=|5sin(a+t)-13|/根号5【注：asinx+bcosx=根号（a²+b²）sin（x+t），其中tant=b/a。详细证明请看http://zhidao.baidu.com/question/310016170.html
当sin(a+t)=1时取得最小值，这时最小值为8/根号5

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