作业帮在三角形ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,P·、Q为AB和AC边上的动点,且PQ将三角形的面积等分为两部,求PQ的最小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 19:31:36
在三角形ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,P·、Q为AB和AC边上的动点,且PQ将三角形的面积等分为两部,求PQ的最小
在三角形ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,P·、Q为AB和AC边上的动点,且PQ将三角形的面积等分为两部,求PQ的最小
在三角形ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,P·、Q为AB和AC边上的动点,且PQ将三角形的面积等分为两部,求PQ的最小
不知你是否知道一个三角形面积公式：
S=1/2a*b*sinC(a,b为相邻两边,C为其所夹的角)
因此可以得到：AP*AQ=1/2(AB*AC)=40
因为AB^2=AC^2+BC^2
所以角C=90度
所以cosA=4/5
不知道你对余弦定理了解吗?就当你了解吧.
PQ^2=AP^2+AQ^2-2*AP*AQ*cosA
=AP^2+AQ^2-64
所以,只需使AP^2+AQ^2最小即可
设AP=a,则AQ=40/a
所以AP^2+AQ^2=a^2+160/(a^2)
>=2*(a^2*(160/a^2))^(1/2) (均值不等式,不知道的话告诉我)
=80
所以PQ^2最小为16
PQ最小为4
令PA=x,QA=y，s=(1/2)xy=(1/2()1/2)*8*6=12所以xy=24,
根据余弦定理
PQ^2=X^+y^2-2xycosA=X^+y^2-(6/5)xy>=2xy-6/5xy=(4/5)xy=96/5(利用均值不等式X^+y^2>=2xy),所以PQ最小值为根号下96/5
答案：PQ的最小值=4 如图：因为，AC²+BC²=8²+6²=10²=AB² 所以，三角形ABC为Rt△ 且∠C=90° 所以，S△ABC=(1/2)*AC*BC=(1/2)*8*6=24 设，AQ=x, AP=y 在Rt△ABC中，sinA=BC/AB=6/10=3/5, cosA=8/10=4/5 S△APQ=(1/2)*AQ*AP*sinA=(1/2)xy*(3/5)=(3/10)*xy=(1/2)*S△ABC=12 所以，xy=40 在三角形APQ中，由余弦定理：PQ²=x²+y²-2xycosA=x²+y²-2xy*(4/5)》2xy-(8/5)*xy=(2/5)*xy=16 即：PQ²=x²+y²-2xycosA=x²+y²-2xy*(4/5)》16 当且仅当，x=y=2根号10时，取等号， 所以，PQ》4 所以，PQ的最小值=4