直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB90度AC=BC=4 D.E分别为AB,BC中点 M为AA1上的点 M-DE-A为30度证明A1B1垂直C1D如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度AC=BC=4,D.E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA1上的点.二面角M-DE-A为30度.(

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 06:02:03

直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB90度AC=BC=4 D.E分别为AB,BC中点 M为AA1上的点 M-DE-A为30度证明A1B1垂直C1D如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度AC=BC=4,D.E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA1上的点.二面角M-DE-A为30度.(
直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB90度AC=BC=4 D.E分别为AB,BC中点 M为AA1上的点 M-DE-A为30度证明A1B1垂直C1D
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度AC=BC=4,D.E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA1上的点.二面角M-DE-A为30度.(1)证明A1B1垂直C1D(2)求MA的长,并求点A到平面MDE的距离

直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB90度AC=BC=4 D.E分别为AB,BC中点 M为AA1上的点 M-DE-A为30度证明A1B1垂直C1D如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度AC=BC=4,D.E分别为棱AB,BC的中点,M为棱AA1上的点.二面角M-DE-A为30度.(
注意：‖ 就是平行符号,在提交时被自动改了.
(1)
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱
∴CC1⊥底面ABC
∴CC1⊥AB ……①
∵∠ACB=90° 且 AC=BC
∴CD⊥AB ……②
综合①②得：AB⊥平面CC1D
∴AB⊥C1D
又∵A1B1‖AB
∴A1B1‖C1D
(2)
∵D、E分别为AB、BC中点
∴DE‖AC
∴DE⊥BC
又∵CC1⊥DE
∴DE⊥平面BCC1B1
∴E到CC1上任意一点的连线都垂直于DE
∴设CC1上一点N,则：∠NEC就是二面角M-DE-A的平面角
∴∠NEC=30°
又∵CE=BC÷2=2
∴CN=2/3*根号3
过N作直线 l 平行于AC 交AA1于一点,则该点即为 M
∴MA=CN=2/3*根号3
——————————————————————
以A为原点,向量DC的方向为 x轴方向,向量AB的方向为 y轴方向,向量AA1的方向为 z轴方向建立立体坐标系.
则：A(0,0,0) ,D(0,2*根号2,0) ,E(根号2,3*根号2,0) ,M(0,0,2/3*根号3)
（部分向量的表示,在此省略,若后面用到,就在这里补上吧）
设平面MDE的法向量为向量n=(a,b,c)
则：向量n·向量DM=0 且向量n·向量DE=0 （计算过程省略）
∴2a=-b=c/3*根号6
取 a=1 ,则平面MDE的法向量为 (1,-2,根号6)
∴点A到平面MDE的距离
d = |向量AM| * cos30°=|向量n·向量AM|÷|向量n|
= 2*根号2 ÷ 根号11 =2*根号22/11
∴距离为2*根号22/11