在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 11:08:50
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证:EF//平面PAD; (2)求证:平面PAB垂直于平面PCD.
1、∵E是PC中点,F是AC的中点,
∴EF是△PAC的中位线,
∴EF//PA,
∵PA∈平面PAD,
∴EF//平面PAD,(直线平行于两面内的直线则必平行于该平面).
2、取AD中点M,连结PM,
PM是△PAD的中线,
∵PA=PD=√2a/2,
∴△PAD是等腰△,
∴PM⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PM⊥平面ABCD,(二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面),
∵CD∈平面ABCD,
∴PM⊥CD,
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴CD⊥AD,
∵AD∩PM=M,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA∈平面PAD,
∴CD⊥PA,
在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,
AD^2=a^2,
∴根据勾股定理逆定理,
△PAD是RT△,
∴PA⊥PD,
∵PD∩CD=D,
∴PA⊥平面PDC,
∵PA∈平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.
⑴ 设G是CD中点,EG∥=PD/2 ﹙中位线﹚,FG∥=BC/2﹙中位线﹚,BC∥AD
∴FG∥AD ∴平面EFG∥PAD EF∥PAD
⑵ 设H是AD中点,则PH⊥AD﹙三合一﹚,PAD⊥ABCD ∴PH⊥ABCD
PA=PD=(根号2/2)AD ∴⊿PAD等腰直角,PA⊥PD
∵AB⊥AD ∴AB⊥PA﹙三垂线定理﹚ AB∥DC∴PA⊥DC<...
全部展开
⑴ 设G是CD中点,EG∥=PD/2 ﹙中位线﹚,FG∥=BC/2﹙中位线﹚,BC∥AD
∴FG∥AD ∴平面EFG∥PAD EF∥PAD
⑵ 设H是AD中点,则PH⊥AD﹙三合一﹚,PAD⊥ABCD ∴PH⊥ABCD
PA=PD=(根号2/2)AD ∴⊿PAD等腰直角,PA⊥PD
∵AB⊥AD ∴AB⊥PA﹙三垂线定理﹚ AB∥DC∴PA⊥DC
∵PA⊥PD, PA⊥DC
∴PA⊥PCD PA∈PAB ∴PAB⊥PCD
收起
PAD垂直ABCD,AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2
1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中,中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a...
全部展开
PAD垂直ABCD,AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2
1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中,中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a^2/4+a^2=a^2/2+a^2
PC^2=PD^2+CD^2
PD垂直CD
PA^2+PD^2=AD^2
直角三角形PAD PA垂直PD
PAD垂直PCD
PA垂直PCD
PAB垂直PCD
收起
取CD中点G,连接EG,FG 则 FG⊥CD,EG⊥CD ∴CD⊥平面EFG 又CD⊥平面PAD ∴平面EFG∥平面PAD ∴EF//平面PAD PA=PD=(根号2/2)AD ∴△PAD是直角△ ∴PA⊥PD 又 PD⊥CD PA⊥AB ∴ <APD是二面角 ∴平面PAB垂直于平面PCD