过抛物线C:y=2px(P>0)的焦点F任意做直线教抛物线 C于A,B两点,求证：点A,B到抛物线C的对称轴的距离之积为为定值

过抛物线C:y=2px(P>0)的焦点F任意做直线教抛物线 C于A,B两点,求证：点A,B到抛物线C的对称轴的距离之积为为定值
过抛物线C:y=2px(P>0)的焦点F任意做直线教抛物线 C于A,B两点,求证：点A,B到抛物线C的对称轴的距离之积为
为定值

过抛物线C:y=2px(P>0)的焦点F任意做直线教抛物线 C于A,B两点,求证：点A,B到抛物线C的对称轴的距离之积为为定值
首先,抛物线方程为y^2=2px (p>0)
设A(x1,y1)、B(x2,y2)到C的对称轴的距离之积等于|y1*y2|
设AB所在直线斜率为k (AB不与对称轴x轴垂直)
过F(-p/2,0)点的AB直线方程为y=k(x-p/2)
则k²(x-p/2)²=2px
k²(x²-px+p²/4)=2px
k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
x1*x2=k²p²/(4*k²)=p²/4
由(y1)²(y2)²=4p²(x1*x2)=4p²*p²/4=p^4
又故有|y1*y2|=p²
即A、B到X轴的距离之积为p²
当AB与X轴垂直时,x1=x2=p/2
(y1)²=2px1=p² (y2)²=2px2=p²
则 (y1*y2)²=p^4 故|y1*y1|=p² ,结论仍然成立