X>0,Y>0,lg2^x+lg8^y=lg2,则1\x+1\y的最小值

X>0,Y>0,lg2^x+lg8^y=lg2,则1\x+1\y的最小值
X>0,Y>0,lg2^x+lg8^y=lg2,则1\x+1\y的最小值

X>0,Y>0,lg2^x+lg8^y=lg2,则1\x+1\y的最小值
lg2^x+lg8^y=lg(2^x*8^y)=lg2^(x+3y)=lg2
x+3y=1
1/x+1/y＝(x+3y)/x+(x+3y)/y=1+3y/x+x/y+3≥4+2√3

【1】
由题设：lg(2^x)+lg(8^y)=lg2
====> lg{(2^x)×[2^(3y)]}=lg2
====> lg[2^(x+3y)]=lg2
====> 2^(x+3y)=2
====> x+3y=1
【2】
由上面结果，及柯西不等式可得：
(1/x)+(1/y)
=(x+3...

全部展开

【1】
由题设：lg(2^x)+lg(8^y)=lg2
====> lg{(2^x)×[2^(3y)]}=lg2
====> lg[2^(x+3y)]=lg2
====> 2^(x+3y)=2
====> x+3y=1
【2】
由上面结果，及柯西不等式可得：
(1/x)+(1/y)
=(x+3y)[(1/x)+(1/y)] (∵x+3y=1.)
≥(1+√3)²
即恒有：(1/x)+(1/y)≥4+2√3.
等号仅当x=1/(1+√3). y=1/(3+√3)时取得
∴原式的最小值为4+2√3

收起

lg2^x+lg8^y=x*lg2+y*lg8=x*lg2+3y*lg2=(x+3y)*lg2=lg2,所以x+3y=1，所以y=(1-x)/3，又因为y>0，所以x<1，所以0