已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.求数列{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 11:55:58
已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.求数列{an}的通项公式

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.求数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.求数列{an}的通项公式

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn+1}是公比为2的等比数列,a2是a1和a3的等比中项.求数列{an}的通项公式
因为{Sn +1}是公比为2的等比数列,设首项为a
所以 Sn +1=a2^(n-1)
Sn =a2^(n-1) -1
n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(a2^(n-1) -1)-[a2^(n-2)-1]=a2^(n-1)-a2^(n-2)=a2^(n-2)
所以an=a2^(n-2)
又a1=S1=a2^(1-1) -1=a-1
又an=a2^(n-2)
所以a2=a2^(2-2)=a
所以a3=a2^(3-2)=2a
由于a2是a1和a3的等比中项,所以(a2)^2=a1a3
所以a^2=(a-1)2a
解得a=2
所以an=2*2^(n-2)=2^(n-1)
当n=1时适合an=2^(n-1)
数列{an}的通项公式是an=2^(n-1)