求函数值域 (换元法来解)已知 x^2+ xy + y^2 = 3 ,x y 均为实数 求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:42:58
求函数值域 (换元法来解)已知 x^2+ xy + y^2 = 3 ,x y 均为实数 求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!

求函数值域 (换元法来解)已知 x^2+ xy + y^2 = 3 ,x y 均为实数 求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!
求函数值域 (换元法来解)
已知 x^2+ xy + y^2 = 3 ,x y 均为实数
求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!

求函数值域 (换元法来解)已知 x^2+ xy + y^2 = 3 ,x y 均为实数 求函数 x^2 - xy + y^2 的取值范围!
做变量替换
x=u-v/2,
y=v,
已知函数 x^2+ xy + y^2 = 3 变为
u^2+3/4*v^2 = 3 .
可知这是一个椭圆,有参数表示：
u=sqrt(3)cosθ,
v=2sinθ,
其中θ在0到2π之间.
故所求函数 x^2 - xy + y^2 可以转化为
u^2-2*u*v+7/4*v^2,
或者进一步转化为参数表示
3*cosθ^2-4*sqrt(3)*cosθ*sinθ+7*sinθ^2,进一步化简得
3*cosθ^2-4*sqrt(3)*cosθ*sinθ+7*sinθ^2
=3+2(1-cos(2θ))-2*sqrt(3)*sin(2θ)
=5-4(cos(2θ)*1/2+sin(2θ)*sqrt(3)/2)
=5-4(cos(2θ-π/3))
由于θ在0到2π之间可以取任意值,所以
所求函数的最大值和最小值分别为
5＋4＝9 和5-4＝1,
并且可以求出函数达到最大值和最小值时对应的x和y的值分别为
x=sqrt(3)cos(π*11/12)-sin(π*11/12), y=2sin(π*11/12)
和
x=1,y=1.

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