作业帮RT三角形ABC中,角C=90°,角B=30°,点P为斜边AB的中点,PM交AC于M,PN交BC于N,角MPN=90°求证PN=(根号3/3)PMhurry!~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 07:42:17
RT三角形ABC中,角C=90°,角B=30°,点P为斜边AB的中点,PM交AC于M,PN交BC于N,角MPN=90°求证PN=(根号3/3)PMhurry!~
RT三角形ABC中,角C=90°,角B=30°,点P为斜边AB的中点,PM交AC于M,PN交BC于N,角MPN=90°
求证PN=(根号3/3)PMhurry!~
RT三角形ABC中,角C=90°,角B=30°,点P为斜边AB的中点,PM交AC于M,PN交BC于N,角MPN=90°求证PN=(根号3/3)PMhurry!~
过P作 PE垂直于AC,PF垂直于AB,E,F 分别为垂足.
因为AC垂直于BC,所以四边形PFCE是矩形.
在直角三角形PEM和直角三角形PFN中,
<MPE+<NPE=90° <NPF+<NPE=90°
所以,<MPE=<NPF
直角三角形PEM和直角三角形PFN相似
PN/PM=PF/PE （1）
直角三角形ABC中,<B=30°
设AC=b,那么BC=√3b
因为,P是AB的中点,而四边形PFCE是矩形,所以,
PN=1/2AC=1/2b
PM=1/2BC=√3/2(b)
由（1）得
PN/PM=PF/PE=(1/2b)/(√3/2 b)=1/√3=√3/3
所以 PN=√3/3PM
请楼上注意，有两个角是直角的四边形未必是矩形
证明：连接PC。
因为三角形ABC是直角三角形，PC为斜边中线。所以PA=PB=PC
三角形PAC和三角形PBC都是等腰三角形
（1）若N为BC中点：则PN为等腰三角形底边中线，因此也是底边上的高，∠PNC=90
四边形PNCM有三个直角，所以是矩形。PM=CN
RT三角形PNC中，∠PCN=30，所以P...
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请楼上注意，有两个角是直角的四边形未必是矩形
证明：连接PC。
因为三角形ABC是直角三角形，PC为斜边中线。所以PA=PB=PC
三角形PAC和三角形PBC都是等腰三角形
（1）若N为BC中点：则PN为等腰三角形底边中线，因此也是底边上的高，∠PNC=90
四边形PNCM有三个直角，所以是矩形。PM=CN
RT三角形PNC中，∠PCN=30，所以PN=√3CN/3=√3PM/3
（2）若N不是BC中点，则分别连接P与BC中点G和P与AC中点H
通过（1）证明可得，PG=√3PH/3
△PBC和△PAC都是等腰三角形，因此PG⊥BC，PH⊥AC
四边形PGCH有三个直角，因此是矩形。所以∠GPH=90
∠GPN+∠NPH=∠GPH=90
∠MPH+∠NPH=∠MPN=90
所以∠GPN=∠MPH
又有∠NGP=∠MHP=90
因此△PNG∽△PMH。
PN：PM=PG：PH=√3/3
收起
过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，连接EF
∠MPE=90°-∠FPE=∠NPF
∴ RT△PME∽RT△PNF，
PN/PM=PF/PE=EC/FC
很明显 △EFC∽△ABC
EC/FC=AC/BC
由已知三角形ABC中,角C=90°,角B=30°可得AC/BC=(根号3）/3
PN=(根号3）/3
证明：
在四边形PMCN中由于有两的角为九十度所以此四边形为矩形，所以M N分别为AC BC的中点，所以可以推出PN＝CM＝AM 。在三角形APM中！角a＝60度，tanA＝PM/AM＝PM/PN＝tan60＝根号3所以PN＝三分之根号三倍的PM
即证！对您有用请采纳！
从题面来看，M,N是两个动点，组成三角形PMN可以有无数个，但符合题意的只能有一个。即PMN是30度角的直角三角形。从题的条件来讲，应该有问题。